Salut Camélia

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Soit



Donc la série de terme général converge, et la série étant de même nature et de même somme, on a que converge vers

Sauf erreur très probable

Bonjour fradel

@fradel

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J'utilise le résultat suivant :

Soit une suite réelle convergente vers 0.

On note   où chaque regroupe termes de la suite consécutifs.

Notons

Alors

Donc les séries et sont de même nature et de même somme en cas de convergence.

Ici

Concrétement, à quoi est égal v_k? S'il est égal à u_k+u_k+1, alors la somme des v_k n'est pas égal à S_n+u_n+1. Il y a des termes qui se chevauchent.

@Fradel

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Concrètement :



Donc

Et

ok, je regarde.

Je crois que la somme _n+1k2n+1(u_k) tend bien vers 0 quand n tend vers + l'infini, ce qui justifierai que la série serait bien convergente de limite ²/3.
En voici l'idée. Supposons que n soit pair (je laisse à tous le soin de traiter l'autre cas) et posons n=2m.
     l_n+1k2n+1(u_k)l lu_2m+1l + l_2m+2k4m+1(u_k)l
D'abord la valeur absolue de u_2m+1 tend bien vers 0, ensuite, en regroupant les termes de la somme l_2m+2k4m+1(u_k)l deux par deux, elle s'écrit
     _m+1k2m(2/k²)
qui tend aussi vers 0 puisqu'inférieure

Désolé, fausse manip; je reprend, blanké (mais est-ce maintenant bien nécessaire?) ci-dessous

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Je crois que la somme _n+1k2n+1(u_k) tend bien vers 0 quand n tend vers + l'infini, ce qui justifierai que la série serait bien convergente de limite ²/3.
En voici l'idée. Supposons que n soit pair (je laisse à tous le soin de traiter l'autre cas) et posons n=2m.
     l_n+1k2n+1(u_k)l lu_2m+1l + l_2m+2k4m+1(u_k)l
D'abord la valeur absolue de u_2m+1 tend bien vers 0, ensuite, en regroupant les termes de la somme l_2m+2k4m+1(u_k)l deux par deux, elle s'écrit
     _m+1k2m(2/k²)
qui tend aussi vers 0 puisqu'inférieure ou égale au reste d'une série à termes positifs (convergente).

Bonjour

>gui_tou C'est OK. Il suffit de préciser que le terme général tend vers 0.

En fait, c'est l'exemple type où la suite des valeurs absolues n'est pas décroissante donc le théorème de Leibniz s'applique.

Par ailleurs, si on ne change pas l'ordre des termes, si le terme général tend vers 0 et si la série obtenue en groupant les termes p à p est convergente la série de départ l'est aussi.