Bonjour à tous,

En résolvant des exos sur les groupes, j'ai remarqué des analogies troublantes ( ) avec des résultats que tout le monde connaît sur les ev. C'est pas si miraculeux que ça puisque les ev sont avant tout des groupes mais bon, je trouve ces correspondances plutôt remarquables.
Je vous en fait part:


Notion de supplémentarité. (Merci à Kévin pour celui-ci).
Soit un groupe abélien. On suppose qu'il existe tel que pour tout , .
On écrit avec et on pose (idem pour ).

Montrez que pour tout il existe un unique couple tel que .



Théorème du rang. (Merci à mon prof pour celui-là).
Soient un groupe fini et f un endomorphisme de .
Montrez que (1).

Application:
On reprend les mêmes hypothèses. Montrez que .

(Vous aurez notez que (1) reste vrai même si f est un morphisme par forcément un endo).


Bon, le but c'est bien sûr de résoudre les exos mais aussi d'en proposer d'autres si vous en connaissez ou si vous en trouvez.


Bon amusement.

Ayoub.