Analyse : exercice de mathématiques de Préparation CRPE

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Analyse
Posté par 
bouchaib  12-07-24 à 19:37
Bonsoir,

Soit g définie sur D=[0; +infini[ ( une restriction sur R),

Montrer que g est minorée et non bornée (pour cela utiliser la démonstration par l'absurde ).

Réponse : g est minorée par -1 qu'est aussi la valeur minimale absolue de  g(x) et c'est g(0)=-1  directement à partir de la fonction .

Ou on peut utiliser l(Cg) qu'est une parole de sommet, S(0 ; -1).

 Pour montrer que g n'est pas bornée, il faut montrer qu'elle n'a pas de majorant.

On suppose par l'absurde qu'elle est majorée :    .

Or (Cg) est  une parabole donc  a une branche infinie au voisinage de l'infini .

Ce qu'est absurde : donc ce M n'existe pas pour tout x de D.

Donc g n'est pas bornée. 

Merci par avance  .

Je voudrais savoir s'il y a moyen rigoureux pour répondre à cette question.

   
 Posté par 
bouchaibre : Analyse  12-07-24 à 20:52
Pardon j'ai inversé l'ordre des  quantificateurs , je dois écrire :

    

Merci.
 Posté par 
Zormuchere : Analyse  12-07-24 à 22:00
Bonsoir

sans les infos sur g, on ne peut pas t'aider
 Posté par 
Sylvieg re : Analyse  12-07-24 à 22:00
Bonsoir,

Nous ne pouvons pas t'aider sans un énoncé complet.

D'où sort cette histoire de parabole ?

S'il y a un graphique qui accompagne l'exercice, tu peux le poster à l'aide du bouton "Img".

Citation :
directement à partir de la fonction . 
Quelle fonction ?
 Posté par 
Sylvieg re : Analyse  12-07-24 à 22:01
Bonsoir Zormuche,

Merci de poursuivre 
 Posté par 
bouchaibre : Analyse  12-07-24 à 22:36
Pardon !

g(x)= x2-1.
 Posté par 
Zormuchere : Analyse  12-07-24 à 23:25
Ce que tu as fait est déjà rigoureux, ce sont des résultats connus depuis le lycée

par contre ça n'utilise pas du tout le raisonnement par l'absurde, et si c'est ce que l'énoncé demande, alors il faut faire autrement



Supposons que g est majorée, c'est à dire qu'il existe  tel que pour tout 



Pour aboutir à une contradiction, on montre qu'il existe un x tel que x^2-1 > M
 Posté par 
bouchaibre : Analyse  12-07-24 à 23:27
Merci beaucoup.
  Posté par 
bouchaibre : Analyse  13-07-24 à 01:44
Prenons par exemple x= M+1 qui appartient  à D, et on a :

      ( (M+1)2-1)-M=M2+M>0 .

Donc  existe  x appartenant à D  pour tout M de R tel que g(x)-1 >M, ce qui contredit notre hypothèse .

Conclusion : g est minorée mais pas majorée donc elle n'est pas bornée. 

Merci .