Bonjour,

tu ne reçois pas de réponse parce que ton énoncé n'est pas clair, il manque des parenthèses et des mots, des définitions, des indices, et certaines choses n'ont pas beaucoup de sens, comme par exemple la question 2 où tu écris  f(3𝑛) = {0,1,2} + 3𝑓(𝑛) , qui est une égalité entre un réel et un ensemble

Bonjour.
Effectivement, c'est une erreur de frappe.
Et j'ai un peu du mal à utiliser les symboles mathématiques.

a) Pour (m,n) dans N*², f(m+n)-f(m)-f(n)= 0 ou 1
La question 2 , il s'agit d'une appartenance.

Merci d'avance.

J'ai pu traiter jusqu'à la question 8.
C'est à partir de la question 9 que je suis bloqué.

Si je comprends bien, on te demande simplement de calculer les 15 premiers termes de la suite f, c'est-à-dire f(1), f(2), f(3), ..., f(15)

Mais avant ça, il y a encore des problèmes, comme la question 4 par exemple. La conclusion pour tout n > 0 est que f(n) < n-1. Alors ça veut dire que f(1) < 1-1 = 0 est strictement négatif. Ca contredit le fait que f est à valeurs positives...

C'est bien ça.

Je me suis encore trompé

C'est supérieure ou égale.

OK, donc trouvons ces premiers termes

La fameuse question 4 nous dit que f(2)-f(1) appartient à {0,1}. Mais f(2)=0 d'après l'énoncé. Comme f est à valeurs positives ou nulles-f(1) est à la fois négatif ou nul et membre de {0,1}, donc f(1)=0 forcément.

La même question 4 dit que f(3)=f(3)-f(2) appartient à {0,1}. Mais l'énoncé dit aussi que f(3)>0, donc f(3)=1 forcément.


Ensuite f(4)-1 appartient à {0,1}, i.e f(4) appartient à {1,2}.
Mais la propriété a) dit aussi que f(3+1)f(3)-f(1) appartient à {0,1}, d'où f(4) ∈ {1,2}∩{0,1} = {1} et f(4)=1


Exactement le même argument 5=4+1 et f(4)=1 conduit à la conclusion que f(5)=1.

...


Conclusion il y a encore un problème dans ton énoncé puisque f(999) ne vaut pas 1

En fait c'est même pire que ça : pour tout n, -f(n) = f(n+1)f(1)- f(n) ∈ {0,1} en étant positif donc f est la fonction nulle

Bonjour,

f(3n) appartient à  {0,1,2} + 3f(n)

L'expression "{0,1,2} + 3f(n)" ne veut rien dire.
Je suppose que c'est ceci qu'il faut comprendre :
f(3n) - 3f(n) appartient à {0,1,2}

C'est bien ça.

Ok, alors prenons en compte la correction

* f(2) - 2f(1) = -2f(1) appartient à {0,1} et est un entier pair, donc f(1) = 0

* f(2) = 0

* f(3) = f(3) - f(1) - f(2) appartient à {0,1} et f(3) > 0, donc f(3) = 1
Mais le résultat de la question 4  dit que f(3) est supérieur ou égal à 3-1 = 2. Contradiction. Tu voulais sûrement dire inférieur ou égal...


Vraiment, il faut que tu retapes tout en faisant bien attention, sinon on ne va pas s'en sortir

Bien sûr que je voulais dire "inférieur ou égal ".

Soit f une application de l'ensemble des entiers strictement positifs dans l'ensemble
des entiers positifs ou nul, vérifiant les propriétés suivantes :
a) Pour tout (𝑚,𝑛) dans N*², 𝑓(𝑚 + 𝑛)-𝑓(𝑚)−𝑓(𝑛) prend l'une des valeurs 0 ou 1 ;
b) 𝑓(2) = 0 ; 𝑓(3) > 0 et 𝑓(999) = 333.
Déterminer 𝑓(1982) et 𝑓(2024).
Partie 1.
1. Calculer 𝑓(𝑛) pour 𝑛 ∈ {1,3,4,5,6,7}
2. Montrer que :
f(3𝑛)-3f(n) appartient à {0,1,2}
3. En déduire de la question 2 que si 𝑓(3𝑛) est multiple 3 alors 𝑓(𝑛) = 𝑓(3𝑛)
3
. Calculer 𝑓(111)
puis 𝑓(37).
4. Montrer que ∀𝑛 > 0,𝑓(𝑛+1)−𝑓(𝑛) ∈ {0,1} puis en déduire que 𝑓(𝑛) ≤ 𝑛 −1.
Partie 2.
5. Montrer que l'application 𝑓 est une suite positive. On précisera l'ensemble de départ et
d'arrivé.
Dans la suite on désignera cette suite par (𝑓𝑚)𝑚≥1
6. Justifier que 𝑓(𝑚 + 𝑛) ≥ 𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛) et en déduire que 𝑓𝑚 est croissante.
7. Prouver que :
(𝑚,𝑘) ∈ ℕ∗2 ⟹𝑘𝑓(𝑚) ≤ 𝑓(𝑘𝑚) ≤𝑘𝑓(𝑚)+𝑘−1.
8. Pour tout entier 𝑘 > 0 et pour tout 𝑚 > 1
a.  
Montrer que partie entière de (f(km)/k)=𝑓(𝑚) 𝑜ù ⌊.⌋ est la fonction partie entière
b.Montrer que 𝑓(𝑘𝑚) <𝑘(𝑓(𝑚)+1)
9. Calculer en mettant en exergue le processus de calculs les 15 premiers termes de la suite f𝑛. Puis présenter ces résultats dans un tableau.
10. En déduire de ce qui précède un algorithme (Ecrit dans le LDA vu au cours) qui calcule les
valeurs de la suite 𝑓𝑚.
11. Implémenter en langage C l'algorithme de la question 10 puis calculer 𝑓1982 𝑒𝑡 𝑓2024.

Je pense que ça va mieux.

Au passage j'ai eu un souci avec f(5) et f(7) (Question 1)

Et à partir de la question 9, je suis bloqué.

Merci d'avance.

Pour f(5), utilise f(6).
Et si nous disais ce que tu trouves dans 1) pour f(6) et les autres ?

f(1)=0
f(2)=0
f(3)=1
f(4)=1
f(5)= ?
f(6)=2
f(7)=?

Utiliser f(6) pour f(5) :
f(6)-f(5)= 0 ou 1
f(5)=1 ou 2 ( c'est ce que je trouve à chaque couple que j'utilise ).

Finalement, je n'ai rien trouvé de simple.
Si f(5) = 2, on aura f(5k) 2k.
Donc f(1000) 400.
A relier avec f(999) = 333.

On suppose que f(5)=2 c'est ça ?
Et on trouve une contraction ?