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Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double

Posté par
Miiloka 13-04-21 à 22:33

Bonjour,

C'est mon premier post sur ce forum, je suis donc désolé par avance si je viens à me tromper de section ou autre ...

Je suis actuellement bloqué à un exercice d'un DS donné dans ma fac de maths. L'exercice est le suivant :

Énoncé :
Soit A l'ensemble des points du plan limité par les deux cercles d'équation :
x^2+y^2 = 1 et (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1.

Exercice :
Dessiner I, puis calculer l'intégrale \int \int _I xy dxdy.

Cependant, je ne sais pas s'il faut passer en coordonnées polaires (ce qui rendrait la chose plus facile à calculer je présume), car il est donné en indication :

Indication :
"Commencer par une intégration par rapport à y. Dans l'intégration par rapport à x, faire un changement de variable x = 1 - sin(t)"

J'ai essayé de faire ça en posant : x^2+y^2 =1\Leftrightarrow x^2 = 1 - y^2, que j'ai essayé d'injecter dans (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1, qui après transformation, aboutissait à x+y = 2, ce qui n'est pas terrible car j'arrive tout au plus à \sqrt{1-x^2}+y = 2, en utilisant ce qui a été fait trois lignes avant.

Du coup voilà mes questions :
- Comment faire pour intégrer sans les coordonnées polaires, plus précisément comment je choisis mes bornes ?
- Je ne vois tout de même pas comment choisir mes bornes si je passe aux coordonnées polaire. Je me doute que \theta \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right], mais ça s'arrête ici tout au plus.

Merci par avance pour votre aide !

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 13-04-21 à 22:59

Bonsoir,

L'indication qui t'est donnée ne dit surtout pas de passer en coordonnées polaires.
As-tu bien fait le dessin qui t'est demandé ?
Si oui, tu devrais voir les bornes entre lesquelles x varie et pour x fixé, les bornes entre lesquelles tu dois intégrer par rapport à y.

Posté par
Miilokare : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 13-04-21 à 23:07

Merci de cette réponse rapide !

Oui, je l'ai en effet fait, mais je ne vois pas quoi en tirer justement ...
Je ne peux pas l'importer ici, mais en propre, le graph ressemble à ce qui est en pièce-jointe.

Je remarque que x peut varier entre 0 et 1 (car ce sont les abscisses des points d'intersection des deux cercles).

Ainsi, pour x fixé, on a y^2 = 1-x^2, qui est une fonction décroissante. De fait, la borne sup en y serait 1, et la borne inf serait donc 1-x^2 ?

J'avais pensé à ça de prime abord, mais n'étant pas très à l'aise encore avec les intégrales doubles, je n'ai pas voulu m'y essayer.

Merci par avance.

Posté par
luzakre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 08:17

Bonjour !
En regardant ton dessin tu dois trouver les valeurs y_1(x),y_2(x) limitant y lorsque x est fixé.
Ensuite tu dois calculer \int_0^1\Bigl(\int_{y_1}^{y_2}xy\mathrm{d}y\Bigr)\mathrm{d}x.

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 08:20

Supposons que tu as fait un dessin correct.
Quand tu coupes l'ensemble I par la droite x=a (avec 0\leq a\leq 1), tu obtiens un segment vertical. D'accord ? Quelle est l'ordonnée de son extrémité inférieure ? De son extrémité supérieure ?

Posté par
malou Webmasterre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 13:12

Bonjour à tous
Miiloka, tu indiques un profil "autre licence" et tu postes en licences maths 2e/3e année...qu'en est-il ?
merci

Posté par
Miilokare : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 13:14

Bonjour, et merci pour ces réponses !!

GBZM @ 14-04-2021 à 08:20

Supposons que tu as fait un dessin correct.
Quand tu coupes l'ensemble I par la droite x=a (avec 0\leq a\leq 1), tu obtiens un segment vertical. D'accord ? Quelle est l'ordonnée de son extrémité inférieure ? De son extrémité supérieure ?


Alors ici, le premier cercle est centré à l'origine de rayon 1, et le second est de centre A(1,1) et de rayon 1, donc j'ai une sorte d'ellipse comme domaine justement. J'ai vu que le dessin ne s'est pas envoyé, le voici (réellement !) en PJ.

Sinon, si j'avais le cercle centré en B(1,0) et de rayon 1, là oui, les points d'intersection  auraient été X_\pm (\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}) en effet.

luzak @ 14-04-2021 à 08:17

Bonjour !
En regardant ton dessin tu dois trouver les valeurs y_1(x),y_2(x) limitant y lorsque x est fixé.
Ensuite tu dois calculer \int_0^1\Bigl(\int_{y_1}^{y_2}xy\mathrm{d}y\Bigr)\mathrm{d}x.



Justement, pour x fixé je pensais avoir 1 pour la borne sup, et 1-x^2 pour la borne inf. Cependant je ne sais pas si c'est juste, ni pourquoi ce ne serait pas juste.
J'ai aussi pensé à dire que la borne inf serait 0 et la borne sup 1 (les ordonnées des points d'intersections), mais ça me paraît trop simple pour être vrai...

Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double

Posté par
Miilokare : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 13:15

malou @ 14-04-2021 à 13:12

Bonjour à tous
Miiloka, tu indiques un profil "autre licence" et tu postes en licences maths 2e/3e année...qu'en est-il ?
merci

Je change immédiatement excusez-moi ! Je suis bien en licence 2 maths, j'ai dû faire une mauvaise manip' à la création de mon profil...

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 13:41

Mais enfin !

Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double

Posté par
DOMOREAAnalyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 13:49

bonjour,
une chose est sûr, c'est que l'aire s'exprimera en fonction de \pi
et donc quand tu auras établi correctement les bornes de ton intégrale en dy, tu auras à coup sûr une primitive que sera une fonction réciproque d'une fonction trigo.
Des connaissances élémentaires de niveau collège permettent de trouver facilement l'aire définitive mais cela n'est  pas à l'ordre du jour
En revanche cela te permettrait de vérifier tes calculs.

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 14:56

DOMOREA, si tu avais lu attentivement le sujet, tu aurais vu qu'il n'est pas question de calculer l'aire coloriée en bleu.

Posté par
DOMOREAAnalyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 16:07

Je ne sais pas quelles sont les contraintes de ton exercice car je ne sais toujours pas ce que tu appelles l'intervalle I
je n'avais pas lu que tu avais une indication, x=1-sin(t), il est donc possible que tu doives la respecter, donc tu devra tout exprimer en fonction de t , cette méthode simplifie les calculs, je te conseille d'intégrer sur la demi "lentille" supérieure de la parte grisée dessinée par GBZM , cela facilite la lecture de la borne inférieure de y.

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 17:01

I=A, visiblement.

Posté par
Miilokare : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 22:40

J'ai ma foi, réussi à faire cet exercice. Je partage la solution si ça peut aider quelqu'un qui était dans la même situation que moi.

Miiloka @ 13-04-2021 à 22:33


Énoncé :
Soit A l'ensemble des points du plan limité par les deux cercles d'équation :
x^2+y^2 = 1 et (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1.

Exercice :
Dessiner I Dessiner A, puis calculer l'intégrale \int \int _I xy dxdy.


Premièrement, il s'agit bien de A (faute de frappe). Ceci étant dit, commençons la correction.

On veut calculer la surface formé par l'intersection des deux cercles, autrement dit, ce qui est colorié en orange.

On peut remarquer que, comme x\in [0,1], alors les bornes d'une des intégrales sera \int_0^1. Occupons-nous de la seconde intégrale.

D'après l'équation du cercle 1, on a : x^2+y^2=1. Isolons y : x^2+y^2=1 \Leftrightarrow y^2 = 1-x^2} \Leftrightarrow y = \pm\sqrt{1-x^2}.

y doit être telle que pour x=0, y=1 (ou x=1, y=0) car cela correspond à l'un des points d'intersection des deux cercles (que l'on peut retrouver avec des équations, mais le dessin servira de preuve). Ainsi, pour x=0, on a : y = \pm\sqrt{1-0^2} = \pm1 \Rightarrow y = \sqrt{1-x^2} !

D'après l'équation du cercle 2, on a : (x-1)^2+(y-1)^2=1. Isolons y : (y-1)^2=1-(x-1)^2 \Leftrightarrow y-1 = \pm\sqrt{1-(x-1)^2} \Leftrightarrow y = 1\pm\sqrt{1-(x-1)^2}.

y doit être telle que pour x=0, y=1. Ainsi, si x=1, on a : y = 1\pm\sqrt{1-(1-1)^2} = 1\pm\sqrt{1} = 1\pm 1 = 0 \Rightarrow y = 1-\sqrt{1-(1-1)^2}, de manière à obtenir y = 0 pour x = 1. Ainsi, y = 1-\sqrt{1-(x-1)^2} !

Enfin, pour répondre à la question initiale que je me posais, et qui m'était problématique : quelles sont les bornes de l'intégrale relativement à y ?

On sait que y = 1-\sqrt{1-(x-1)^2} et y = \sqrt{1-x^2}. De plus, la surface délimitée par les deux cercles est composé d'un "toit" et d'un "sol". Je m'explique : la surface orange ne dépasse pas l'arc formé par le cercle 1 (en rose), c'est le toit ; et la surface orange ne dépasse pas l'arc formé par le cercle 2 (en rouge), c'est le sol. Ainsi, les bornes seront : \int\limits_{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-x^2}}.

Finalement, il ne reste plus qu'à calculer l'intégrale suivante : I = \int\limits_0^1 \int\limits_{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-x^2}} xy dxdy.. Après calcul, on trouve que I = \frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}, sauf erreur de ma part.

Passez tous une bonne soirée, prenez soin de vous.

Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 22:54

Citation :
On veut calculer la surface formé par l'intersection des deux cercles, autrement dit, ce qui est colorié en orange.


Ben non, tu te trompes. On ne calcule pas la surface orange, on calcule l'intégrale de la fonction xy sur le domaine orange.

Bon, tu as tout de même réussi à comprendre les bornes de l'intégrale par rapport à y. Mon dessin y est peut-être un peu pour quelque chose.

Posté par
Miilokare : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 14-04-21 à 23:10

En effet, désolé pour l'abus de langage.

Posté par
DOMOREAAnalyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 14:34

bonjour,
Miiloka, tu aurai du vérifier comme je te l'ai dit par un calcul élémentaire car ton résultat est faux;

Désolé GBZM mais j'avais bien bien compris, mais avec le calcul de l'intégrale double (I=\frac{\pi}{2}-1 pour avoir l'aire de la lentille, il suffit d'écrire 2\pi-I=2\pi-(\frac{\pi}{2}-1) pour l'aire de la surface limitée par les 2 cercles c'est à dire la frontière extérieure

car il est bien dit :

Citation :
Soit A l'ensemble des points du plan limité par les deux cercles d'équations ... :
(il ne s'agit pas ici de l'intersection)

L'intégrale est la question préliminaire cruciale et évidement la seule importante

donc le résultat est si je ne me trompe Aire(A)=\frac{3\pi}{2}+1 c'est comme cela que j'interprète l'exercice

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 15:18

DOMOREA, tu n'as toujours pas lu l'énoncé. Il ne s'agit pas de calculer l'aire de A, mais l'intégrale de xy sur A. Vas-tu une nouvelle fois persister dans ton erreur ?

Milloka, je trouve \dfrac\pi4-\dfrac12, mais j'estime ma probabilité d'erreur à 50%.

Posté par
Pirhore : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 15:26

Bonjour,

je trouve aussi \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{3}

Posté par
DOMOREAAnalyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 15:35

oups!
Je calculais \int\int dxdy mais pourquoi son titre se nommait-il "Aire" ?

Posté par
Miilokare : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 16:47

Bonjour DOMOREA, tu aurai du vérifier quelques messages avant, car comme c'étati écrit, c'était un abus de langage. Je voulais dire l'intégrale xy sur le domaine orange, et l'erreur est entièrement mienne.

Comme on ne peut pas modifier ses posts sur le forum, alors le titre est resté comme tel.

Et le résultat est bien \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}, je remercie Pirho pour la confirmation.

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 16:52

Maple est d'accord avec vous :

Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double

Je me suis trompé dans mon fouillis de calculs, ce qui ne m'étonne pas.

Posté par
DOMOREAAnalyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 17:06

pour vérification

j'ai refais les calculs
Pour l'intégrale en x j'ai trouvé \int_0^1 -x^2-2\sqrt{1-(x-1)^2} dx
après changement de variable x=1-sin(t), dx=-cos(t)dt , je trouve \int_\frac{\pi}{2}}^0(-1+2sin(t)-sn²(t)-2(1-sin(t))(-cos(t))dt

Après développement, linéarisation et simplification  \int_\frac{\pi}{2}^0(-sin(2t)+(1/4)cos(t)+(3/4)cos(3t)-1+cos(2t) )dt

en intégrant [(1/2)cos(2t)+(1/4)sin(t)+(1/4)sin(3t)-t+(1/2)sin(2t)]_\frac{\pi}{2}}^0
et sauf erreur je  trouve \frac{-1}{2}+\frac{\pi}{2}

Posté par
GBZMre : Analyse - Aire entre deux cercles, intégrale double 15-04-21 à 17:10

DOMOREA, tu t'es trompé dans tes calculs (moi aussi). Le bon résultat a déjà été donné trois fois.


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