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Analyse complexe - principe du maximum local
Posté par fox59
Bonjour à tous,
Nous avons vu en cours d'analyse complexe le principe du maximum local, qui stipule que toute fonction holomorphe non constante n'admet pas de maximum local.
Cependant, je ne comprends comment ce résultat peut ne pas entrer en contradiction avec un résultat bien connu indiquant que toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes (résultat que nous avons par ailleurs utilisé à plusieurs reprises dans ce cours).
Par exemple, si je prends f holomorphe et si je considère le disque fermé D(0,1) : c'est un compact car fermé borné en dimension finie. f est donc bornée et atteint ses bornes sur ce compact. Elle admet donc un maximum sur D(0,1) non ??? Ou il y a quelque chose qui m'échappe ?
Voilà, merci d'avance pour votre aide.
@fox59
Soient U un ouvert de 
et f : U 
holomorphe .
Soient a 
U et r > 0 tel que DF(a,r) soit contenu dans U . On pose M(r) = Sup { |f(z)| │ z DF(a,r) } et A(r) = {z DF(a,r) │ |f(z)| = M(r) } , qui est non vide .
PM ( le " principe du maximum " ) dit que si A(r) 
DO(a,r) n'est pas vide alors f est constante dans DF(a,r) .
Si f n'est pas constante dans DF(a,r) , A(r) est contenu dans le cercle 
(a,r) = { z │ (z - a| = r }
Il n'y a pas de contradiction .