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Analyse complexe, singularité essentielle et maximum
Posté par Kernelpanic
Bonjour,
cela fait une semaine que je sèche sur un exercice donc je me résous à venir demander de l'aide ici. Voici l'énoncé :
"Soit U un ouvert de C et z0 un complexe dans U. Soit f une fonction holomorphe sur U privé de z0 ayant une singularité essentielle en z0. Soit e > 0 tel que la boule ouverte centrée en z0 et de rayon e soit incluse dans U. On considère la fonction :
Montrer que, pour tout entier naturel k :
"
J'avais pensé à considérer une fonction auxiliaire du style g(z) = z^k * f(z) et appliquer le principe du maximum sur des couronnes centrées en z0 tout en utilisant la densité de mais j'ai du mal. J'ai aussi tenté de montrer :
mais rien non plus. J'ai un peu de mal à utiliser simultanément la densité pour exploiter des suites qui tendent vers l'infini tout en passant à la limite sur des couronnes qui deviennent de plus en plus petites (surtout que le max sur les couronnes peuvent se situer sur le petit cercle). Auriez-vous une piste ? Merci.
Bonjour
Appliquer le principe du maximum sur des couronnes entrées en me semble une bonne idée. Ce que je ferais, c'est de prendre le bord extérieur de la couronne fixe et de prendre le bord intérieur de plus en plus petit.
Ça me permettrait de dire quelque chose de la variation de quand
tend vers 0
Vois-tu, ou dois-je en dire plus ?
Bonjour GBZM, merci infiniment pour cette réponse, je vois parfaitement. Je me suis compliqué la vie à vouloir absolument réduire la taille de la couronne entièrement... il suffit d'utiliser la densité ensuite pour majorer une suite de points qui va partir à l'infini en module (si j'ai bien imaginé, je vais écrire sur papier maintenant). Je reviendrai éventuellement si j'ai des soucis côté rédaction.