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analyse de fonction

Posté par lizoulette (invité) 19-12-05 à 21:28

Bonsoir, je voudrais demander votre aide au sujet suivant:
j'ai une fonction:
$f(x)=x^3-x^2-2x+1$
J'ai montré qu'elle a exactement 3 solutions x1, x2 et x3 tels que:
$-2<x_1<-1<0<x_2<1<x_3<2$
et il faut maintenant que je montre que
$x_1+x_2+x_3=1$
et j'en déduise que
$|x_2|<|x_1|<|x_3|$
je vois même pas comment je peux attaquer le problème. Merci d'avance pour tout votre aide

Posté par re : analyse de fonction 19-12-05 à 21:37

Bonsoir lizoulette

Pour la première partie de la question, pense aux relations coefficients-racines.

kaiser

Posté par re : analyse de fonction 19-12-05 à 22:01

Pour la deuxième partie de la question :
D'après les inégalités que tu as montrées, on déduit que |x₁|>1>|x₂|
D'où la première partie de l'inégalité.
Pour la seconde partie de l'inégalité, il faut réécrire la relation $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ en utlisant les valeurs absolues.
On a alors $-|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|=1$
On en déduit que $|x_{3}|=|x_{1}|+(1-|x_{2}|)$
or on sait que 1>|x₂|, d'où |x₃|>|x₁|

Kaiser

Posté par re : analyse de fonction 20-12-05 à 00:18

Bonsoir;
On a $\fbox{f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}$ donc $\fbox{f(x)<0\hspace{5}pour\hspace{5}x<x_1\\f(x)>0\hspace{5}pour\hspace{5}x_1<x<x_2\\f(x)<0\hspace{5}pour\hspace{5}x_2<x<x_3\\f(x)>0\hspace{5}pour\hspace{5}x>x_3}$ et on a $\fbox{-2<x_1<-1<0<x_2<1<x_3<2\\f(-x_1)=2(1-x_1^2)<0}$
d'où $\fbox{x_2<-x_1<x_3}$ c'est à dire $\fbox{|x_2|<|x_1|<|x_3|}$
Sauf erreurs...

Posté par lizoulette (invité)re : analyse de fonction 20-12-05 à 13:40

merci beaucoup pour votre aide, kaiser et elhor_abdelali, mais j'ai quand même une question: quelle est cette relation de coef-racine qu'il faut utiliser dans la 1ère partie?
merci encore une fois

Posté par philoux (invité)re : analyse de fonction 20-12-05 à 13:49

bonjour

si tu écris

(x-x1)(x-x2)(x-x3) et développes

(x^3-(x1+x2+x3)x²-(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3)

le coef de x² vaut -(x1+x2+x3) soit -1

=> x1+x2+x3=1

Philoux

Posté par lizoulette (invité)re : analyse de fonction 20-12-05 à 14:49

finalement, c'est pas si commpliqué! merci beaucoup philoux et merci à tous

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