salut !
on considère l'équation différentielle : y'+2xy=1
on sait que f (on ne cherche pas à l'exprimer) est solution de
cette équation différentielle...
le problème est de montrer que f admet en 0 un développement limité
à tout ordre p (p entier naturel)
Comment faire ?
Merci d'avance
dire que f admet un DL a tout ordre p ca veut dire qu'elle est
derivable p fois (de classe Cp).
Je pense qu'il suffit de demontrer ca pour conclure.
si tu sais que f est solution, ca veut dire que f' existe, donc
f est derivable au moins une fois.
or f'=1-2xf, donc f' est derivable aussi.
ensuite, f''=(1-2xf) (f''=(f')' et on remplace
f' par l'expression deduite de l'equa diff)
f''=-2f-2xf', f'' est derivable comme la somme de 2 fonctions derivables
sur leur ensemble de definition
ainsi de suite...
par recurrence :
-f(0) est derivable (f(0) derivee 0ieme de f)
-on supoose f(n) derivable
-f(n+1)=-(n+1).f(n-1)-2f(n-3) (aussi demontrable par recurrence)
f(n+1) est derivable comme somme de fonctions derivables (par hypothese
de recurrence)
-donc ca marche
PS :je ne sais pas si la methode est correcte, mais l'idee est
la (peut-etre)
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :