dire que f admet un DL a tout ordre p ca veut dire qu'elle est
derivable p fois (de classe Cp).
Je pense qu'il suffit de demontrer ca pour conclure.

si tu sais que f est solution, ca veut dire que f' existe, donc
f est derivable au moins une fois.
or f'=1-2xf, donc f' est derivable aussi.

ensuite, f''=(1-2xf) (f''=(f')' et on remplace
f' par l'expression deduite de l'equa diff)
f''=-2f-2xf', f'' est derivable comme la somme de 2 fonctions derivables
sur leur ensemble de definition

ainsi de suite...

par recurrence :
-f(0) est derivable (f(0) derivee 0ieme de f)
-on supoose f(n) derivable
-f(n+1)=-(n+1).f(n-1)-2f(n-3) (aussi demontrable par recurrence)
f(n+1) est derivable comme somme de fonctions derivables (par hypothese
de recurrence)
-donc ca marche

PS :je ne sais pas si la methode est correcte, mais l'idee est
la (peut-etre)