Pour la première on te demande de montrer quelque chose pour tout
n --> RECURENCE (c'est un reflèxe à avoir)

P(n) : f^(n+2)(x)=......

n=0 c'est easy
On part de f'(x)+2xf(x)=1 et on dérive pour arriver à f''(x)=...

supp P vrai en n et montre en n+1
Tu pars de f^(n+2)=.....
pour calculer f^(n+3)=.... (tu dérives)

fin de la récurence

Pour la somme, tu pars de f(x)=som(ak x^x)
et tu dérives (terme à terme) pour voir comment ça se goupille
(comme ta somme est finie , som(u(x))'=som(u'(x)) )
(t'occupes pas du o(x^p) )
et tu recommence pour avoir f^(n)
tu dois avoir des coef du type k(k-1)(k-2)....(k-n) ak x^(k-n) (attention
à tes indices : k va de n à p)
ensuite tu remplaces dans ta relation de récurence vue au dessus et tu regroupe
les coef des x^k. Ca dois te donner une relation de récurence sur
ak, relation qui (en théorie )doit te permettre de conclure.

C'est un peu long et méticuleux (c'est pour ça que j'ai pas plus
détaillé, je l'ai pas fait) mais tu devrais t'en sortir.
Ce genre d'exos marche toujours comme ça.

Bon courage

Au fait c'est quel niveau ?