salut

si on pose AM =x   alors  BM = 1-x   et l'aire de APM est l'aire d'un triangle équilatérale
de cotés x   et d'angle en M valant 60° , soit
Aire _AMP= 1/2.x(1-x)./3=( 3/4).x(1-x)
puis on etudie cette fonction comme une fonction classique f(x)= ( 3/4).x(1-x)  , f'(x)=  ( 3/4).(1-2x)  qui s'annule en x = 1/2  on a donc un maximum pour l'aire de AMP en x =1/2 comme tu a trouvé .
pour la question suivante il faut faire la somme des aires des trois triangles et l'étudier également comme on ferait pour une étude de fonction trouver en cherchant ses extrema

Bonjour,
@superninie,
Peux-tu prendre l'habitude de copier les énoncés dans leur intégralité sans les adapter à ta sauce ?
Je ne crois pas que "Il faut déterminer" soit écrit tel que dans l'énoncé.

L'énoncé est incomplet : On ne sait pas si les points P et Q sont dans le même demi plan de frontière (AB) ou pas.

@flight,
triangle MPQ triangle APM

Par ailleurs, d'où vient ce 1-x dans l'aire du triangle APM ?

Bonsoir,
@Sylvieg
Désolée, en effet, il n'est pas écrit "Il faut déterminer" mais "Déterminer". Je voulais juste atténuer la sensation d'ordre que laisse transparaître ce verbe.
Par contre, après relecture de l'énoncé, il n'est pas incomplet.
Or, je pense que les points P et Q ne sont pas dans le même demi plan de frontière (AB).
Mille excuses mais je n'arrive pas à poster des figures.

Avec P et Q de part et d'autre de la droite (AB), le quadrilatère ABQP a une allure un peu spéciale ...

Par ailleurs, j'attends un réponse pour

Bonjour,
@sylvieg
Oui autant pour moi les points P et Q dont bien dans le même demi plan de frontière (AB).
Et le (1-x) vient sûrement que @flight prend comme base [AM].

Recopier intégralement l'énoncé sans en changer un mot est nécessaire.

Bonsoir,
@Sylvieg
le côté du triangle APM a pour longueur x
son aire vaut sqrt(3)/4 .x^2
Mais est-ce-que cela va me servir?

Bonjour,

M est un point libre sur le segment [AB] de longueur 1. Les triangles AMP et MBQ sont équilatéraux.
a) Déterminer la position de M qui rend maximale l'aire du triangle MPQ.
b) Expliquer pourquoi cette position rend minimale l'aire du quadrilatère ABQP.

bonjour à tous
superninie, pour poster une figure

extrait de la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

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Bonjour malou

@superninie,
Quand je demande un énoncé intégral, ça veut dire avec la figure s'il y en a une dans l'énoncé...

Bonjour
@sylvieg
Je ne peux pas la mettre, elle est en format.docx

tu as certainement dans ton ordi, un petit logiciel de capture d'écran, qui va te la sortir à un format accepté par le site, c'est ce qu'il y a de plus commode
si vraiment tu n'y arrives pas, envoie moi ta figure sur mon mail [lien]

Bon. Bien qu'avec une capture d'écran...
Bref, s'il y avait une figure accompagnant l'énoncé, le signaler n'était pas impossible.

Pour le moment, je ne m'occupe que de la question a).
L'aire du triangle MPQ est égale à l'aire d'un trapèze moins l'aire de deux triangles rectangles.
Faire les calculs de ces aires.

voilà la figure qui m'a été transmise

Bonjour,
Aire MPQ = Aire APQM - Aire APM
                         = [B+b)xh]/2 - 1/2xbxh
                         = [ (AP+MQ)xh]/2- 1/2xsqrt(3)/2x
                         = [(x+1-x)x]/2 -sqrt(3)/4 x^2
                         = sqrt(3)/4 x - sqrt(3)/4 x^2

J'avais pensé à un autre trapèze, avec les médiatrices de [AM] et [MB].
Mais c'est plus simple avec APQM
Pour le trapèze APQM, il faut justifier sa hauteur.
Ceci est faux : [(x+1-x)x]/2
Alors que ça devient exact à la ligne suivante.

Tu peux utiliser le symbole accessible par le bouton sous la zone de saisie.

[(x+1-x)x]/2 est à remplacer par  [(x+(1-x))x]/2
Et pour le trapèze APQM, je justifie sa hauteur comme le triangle APM est équilatéral, ces trois angles valent 60° et ces côtés x.
Donc sin(PMA)=h/PM
sin 60°= h/x
sqrt(3)/2=h/x
Ainsi h= (sqrt(3)/2)x
Ensuite pour trouver l'aire maximale de MPQ, dois je dériver sa fonction et vois si elle admet un maximum?

"[(x+1-x)x]/2 est à remplacer par [(x+(1-x))x]/2" : c'est la même chose, non ?
Il y a une coquille dans le calcul de 14h59 ; mais c'est pas grave.

Pour justifier la hauteur du trapèze APQM, préciser que c'est aussi la hauteur issue de M du triangle équilatéral AMP.
Le reste peut-être considéré comme connu en 1ère.

Pour trouver l'aire maximale de MPQ, on peut dériver ou écrire l'aire sous forme canonique puisqu'on a un polynôme de degré 2.

Bonsoir,
Finalement, l'aire  de MPQ a pour forme canonique -sqrt(3)/4 (x-1/2)^2 +sqrt(3)/16.
Ce qui correspond à une parabole qui atteint son point maximum en (1/2;sqrt(3)/16).
Ainsi l'aire du triangle sera maximale quand le point M sera le milieu de [AB].
Par contre, je sèche encore sur la deuxième question.

Il faut dormir la nuit
Pour b), on peut utiliser le triangle ABC où le point C est l'intersection des droites (AP) et (BQ).

Bonsoir,
La nuit me sert à travailler mes mathématiques car en dehors du travail, je consacre mes journées à mon fils de 4 ans afin qu'il ne soit pas impacter par ma préparation au concours interne.
Par contre, je ne vois pas ce que tu veux dire en me conseillant d'utiliser le triangle ABC où le point C est l'intersection des droites (AP) et (BQ).

Quelle est la nature du triangle ABC ?
Quelle est la nature du quadrilatère MPCQ ?

Bonjour

si je peux me permettre, les calculs sont inutiles pour la deuxième question


si P_1 et Q_1 sont les pieds des hauteurs issues de P et Q, le trapèze P_1Q_1QP a une aire constante égale à un huitième de racine de 3
(car hauteur P_1Q_1 constante = 1/2, et somme des deux bases constante = un demi de racine de 3)

pour passer de ce trapèze au triangle de la première question on enlève les demi aires des triangles équilatéraux, donc pour avoir un triangle d'aire maximale, il faudra que l'aire des triangles équilatéraux soit minimale
or pour obtenir l'aire du quadrilatère de la deuxième question, au contraire on ajoute ces demi triangles équilatéraux à notre trapèze d'aire constante : donc si les triangles équilatéraux sont d'aire minimale, le quadrilatère aussi.

Bonsoir lafol,
Ce que tu proposes était ma première idée :

j'ai vu les calculs de superninie, ça ne m'a pas donné envie de poursuivre dans cette voie alors qu'avec ta première idée on a juste les variations de x² + (1-x)² à étudier ....

Bonsoir,
Merci pour votre aide.
Juste un petit détail @lafol, comment trouves-tu que la hauteur P_1Q_1 constante = 1/2, et  que la somme des deux bases constante = un demi de racine de 3?

P_1Q_1 est la somme d'un demi côté d'un des triangles équilatéraux et d'un demi côté de l'autre .... c'est exactement la moitié de AB, du coup
et les hauteurs de ces triangles (qui sont les deux bases du trapèze) sont proportionnelles aux côtés (tu as écrit quelque part plus haut le lien entre hauteur et côté d'un triangle équilatéral)

@superninie et lafol
Pour la question 1), les calculs avec le trapèze APQM ne me semblent pas plus compliqués qu'avec PQQ₁P₁.

Pour la question 2), avez-vous essayé avec le triangle ABC qui est fixe ?
Aucun calcul bien sur.
Juste le centre d'un parallélogramme à utiliser.