Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Analyse numérique

Posté par
tintin22 15-11-24 à 20:41

Bonjour,
Je suis en troisième année de licence
Dans mon cours d'analyse numérique, j'ai un exo que je n'arrive pas,
En voici l'énoncé ( J'ai mis le reste de l'exo en pièce jointe pdf)

Soient deux échelles de longueurs respectives 3 et 4 mètres posées contre deux murs verticaux parallèles. On sait que les échelles se croisent à 1 mètre du sol et on cherche à connaître la distance d entre les deux murs

1/ Montrer que ce problème revient à déterminer x et y tels que :
16x^2= (x^2+1)(x+y)^2 \\ 9y^2= (y^2+1)(x+y)^2

Pour commencer, j'ai tout d'abord fais un schéma représentant le problème ( voir pièce jointe pdf)

Puis à l'aide de ce schèma, j'effectue le théorème de Pythagore sur les triangles CHE, HAE, CAD et BAC ce qui me permet d'écrire en fonction de x et les longueurs des segments suivant
AB=\sqrt{9-(x+y)^2} \\ CD=\sqrt{16-(x+y)^2}\\ AH=\sqrt{y^2+1} \\ CH=\sqrt{x^2+1} \\ \text{Puis, par identification} \\ BH=3-\sqrt{x^2+1} \\ DH=4-\sqrt{y^2+1}

Puis, j'effectue le théorème de Thalès dans les triangles BAH et CHD, on a donc \frac{AB}{CD}=\frac{BH}{CH}=\frac{AH}{DH}
Puis j'élève le tout au carré afin de me débaresser des racines et je remplace par leur valeur respective. J'ai essayer de faire plusieurs produit en croix pour retomber sur les équation.
Le problème c'est que je ne vois pas comment poursuivre pour retomber sur les équations demandées.
Pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît ?
En vous remerciant d'avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.
Cordialement.** Fichier supprimé ** ** Fichier supprimé **

Posté par
malou Webmasterre : Analyse numérique 15-11-24 à 20:54

Désolée tintin22, tu avais mis le pdf 2 fois, j'ai voulu en supprimer un et le second a sauté également
Peux-tu remettre ton pdf en réponse à mon message
Merci

Posté par
gts2re : Analyse numérique 15-11-24 à 21:19

Bonjour,

J'ai l'impression qu'en faisant dans l'autre sens, il y a moins de problèmes.
Thalés permet d'obtenir la hauteur d'appui des échelles.
On effectue alors Pythagore et on obtient (presque) directement  l'équation proposée (presque : il faut, en effet, faire un produit en croix pour se débarrasser du dénominateur, puis faire la mise en facteur de (x+y)^2)

Posté par
tintin22re : Analyse numérique 15-11-24 à 21:32

Bonjour, je viens de vous remettre le pdf, pardon de l'avoir mis en double.
gts2 Merci beaucoup, j'essaie de le faire et je reviens vers vous si j'ai d'autre question sur la suite de l'exercice.

pdf
PDF - 410 Ko

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Analyse numérique 15-11-24 à 21:45

Bonsoir,
Je mets le schéma pour qu'il soit plus facile à consulter.

Analyse numérique

Posté par
tintin22re : Analyse numérique 16-11-24 à 12:28

Bonjour,
Alors problème règler pour la question 1/
En se plaçant dans le triangle DAC, en effectuant Phytagore puis Thalès, on obtient la première équation avec un produit en croix
De même dans le triangle BAC est obtient le second triangle.

Maintenant c'est la question 2/ qui est embêtante ...
2/ Comme dans le cas en dimension 1, la méthode de Newton consiste à regarder la solution de l'équation f(X) = 0 comme solution de l'équation F(X) = X avec F(X) = X - Df(X)^-1 ° f(X) où Df(X) est la matrice jacobienne de f que l'on suppose inversible.

Écrire l'algorithme de Newton pour la résolution de ce système

Alors, j'ai calculé la jacobienne mais après je ne vois pas comment écrire l'algorithme... dans mon cours, j'ai la méthode de Newton en dimension 1 seulement pas 2 ou généralisé à n dimension.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 16-11-24 à 13:54

salut

l'algorithme est quasiment identique mais tu travailles avec des vecteurs au lieu de travailler avec des réels ...

et en partant du vecteur initial (1, 1)

il faudrait déjà nous donner très exactement f

ensuite sa jacobienne et bien sûr la méthode de Newton nous impose donc d'avoir son inverse ensuite ...

Posté par
tintin22re : Analyse numérique 16-11-24 à 15:36

Merci beaucoup, je pense avoir réussi l'exercice.
Alors f(X)=\begin{pmatrix} 16x^2-(x^2+1)(x+y)^2 \\ 9y^2-(y^2+1)(x+y)^2 \end{pmatrix}, Df(X) = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} &\frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} &\frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} \end{pmatrix}
On a comme condition initiale X_0= (x_0,y_0)
On a donc X_{n+1}=X_n - Df(X_n)^{-1}\times f(X_n)
On a supposé que la jacobienne de f est inversible donc l'agorithme de la méthode de Newton est toujours défini.

\text{3/ Calculer }(x_1,y_1) \text{ construit par la méthode de Newton à partir de }(x_0,y_0)=(1,1)

f(X_0)=\begin{pmatrix} 8\\1 \end{pmatrix}\\ Df(X_0)=\begin{pmatrix} 16 &-8 \\ -8&2 \end{pmatrix}\\ Df(X_0)^{-1}=\frac{-1}{32}\begin{pmatrix} 2&8 \\ 8&16 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{-1}{16} &\frac{-1}{4} \\ \\ \frac{-1}{4}& \frac{-1}{2} \end{pmatrix}\\ \text{Donc } X_1= \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{-1}{16} &\frac{-1}{4} \\ \\ \frac{-1}{4}& \frac{-1}{2} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 8\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{4}\\\\\frac{7}{2} \end{pmatrix}

Ce qui conclut l'exercice, si il n'y a pas d'erreur.
Pouvez vous me dire si il y en a s'il vous plaît ?
Je vous remercie de l'aide que vous m'avez apporté.

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 16-11-24 à 16:24

ça me semble correct (sans faire les calculs moi-même évidemment)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !