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Angle de coupe

Posté par
marbisou
31-08-10 à 17:29

Bonjour à tous,
Mon hobby est la menuiserie de précision, et je dois déterminer un angle de coupe bien précis. Imaginons que je veuille construire une pyramide à 4 côtés en panneaux de bois dont l'inclinaison est de 45°. je dois donc pratiquer des découpes à onglets (biseaux) à tous mes triangles pour que les 4 pièces s'assemblent parfaitement. Si l'on regarde la pyramide en vue en plan, on peut voir des angles de 45°, mais une fois que le triangle est à plat, quel est exactement l'angle du biseau?
Je me casse la tête, mais ne parviens pas à trouver la formule. Si cela peut vous aider, à l'aide d'une scie radiale, j'ai coupé un bloc de bois à 45° dans l'axe vertical et horizontal, et l'angle de coupe obtenu à l'aide d'une équerre réglable est de 60°. Il me faudrait la formule à appliquer en fonction de l'inclinaison de la pyramide, car je compte réaliser une pyramide à 20 côtés.
Merci d'avance à tous les bucheurs.

Posté par
jacqlouis
re : Angle de coupe 31-08-10 à 17:41

    Bonjour M...   La pyramide de 4 côtés (plus la base horizontale) aurait  donc les 4 faces latérales inclinées de 45 degrés par rapport à la base ?...

    Donc l'inclinaison des biseaux correspondants pourra être de  22,5 degrés , pour les 4 côtés de la base, et l'arête inférieure de chaque face .

    Pour les arêtes latérales des faces, il faut réfléchir encore un peu !...

Posté par
marbisou
angle de coupe 31-08-10 à 17:49

Les 4 faces sont bien inclinées à 45° par rapport à la base. Mais pour les biseaux des 4 arêtes reliant la base au sommet...c'est là où ça se corse !
Bon courage

Posté par
jacqlouis
re : Angle de coupe 31-08-10 à 18:26

Perso, je dirais :    (1/2)*90° *( V2/2 ) =  env  32 °

Pour la pyramide à 20 faces latérales, il faudra remplacer 90° par l'angle entre deux arêtes adjacentes de la base ...

    Tu vérifieras...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 20:38

Bonjour,

Pour la pyramide à base carrée: l' angle dièdre de 2 faces latérales est 120 ° ce qui donne des biseaux de 60 °.

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:14

Bonjour Cailloux,

Les 60° sont justes. Je l'ai vérifié dans la pratique. Le but est en fait de trouver une formule pour trouver cet angle quel que soit l'angle d'inclinaison et le nombre de côtés (par ex une pyramide de 20 côtés inclinés de 16°)

Merci de persévérer

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:17

Bonsoir Jacqlouis,

Merci pour la réponse, mais je ne saisis pas bien le "(V2/2).
Merci d'éclairer ma lanterne.

A+

Posté par
jacqlouis
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:19

    Laisse tomber, ...  Cailloux t'a donné une réponse que tu as vérifiée ... Alors , c'est fini pour moi !

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:24

Dommage !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:27

Re,

J' ai trouvé une formule générale relativement simple (à vérifier):

Les angles étant exprimés en degrés:

On appelle:

n le nombre de côtés de la base de la pyramide.

\alpha l' angle dièdre des faces sur le plan horizontal.

\varphi l' angle de coupe des biseaux (donc le demi angle dièdre entre 2 faces).

On a: \cos\,\varphi=\sin\,\frac{180}{n}\,\sin\,\alpha

Donc avec ceci:

Citation :
(par ex une pyramide de 20 côtés inclinés de 16°)


On a n=20 et \alpha =16°

On obtient pour l' angle de coupe des biseaux: \varphi =87.53°

Ca me parait plausible....

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:44

Je ne comprend pas "l'angle dièdre des faces sur le plan horizontal".
Peux tu remplir la formule pour ta réponse de 87,53°

Merci

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 21:54

Il s' agit de ton angle d' inclinaison des faces latérales.

Avec n=20 et \alpha=16°:

\cos\,\varphi=\sin\,\frac{180}{20}\times \sin\,16

\cos\,\varphi=\sin\,9\times\sin\,16

La calculette donne:

\cos\,\varphi=0.43119182302.....

puis \varphi =87.5286866... en degrés.

J' ai fait quelques essais avec des angles limites et il semblerait bien que la formule soit juste.

Si tu veux, il est possible de faire un tableau à double entrée: nombre de côtés/angle d' inclinaison qui donne les angles de coupe correspondants.

Il faudrait juste savoir:

Pour le nombre de côtés: de combien à combien ?

Pour l' angle d' inclinaison: de combien à combien avec quel pas ?

Pour le résultat, c' est à dire l' angle de coupe, combien de décimales ? (le dixième de degré, le centième, le millième...) ?



Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 22:04

Une erreur de recopiage:

La calculette donne:

\cos\,\varphi=0.043119182302...

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 22:09

Ta formule se justifie en tout cas pour la pyramide à 4 côtés inclinés à 45°. Concernant la précision au centième, mon outillage n'est pas d'une précision numérique. Si elle se vérifie pour les autres cas....alors là.......t'es le meilleur !!!!!!!
Je te tiens au courant après examen pratique
Thanks a lot !!!

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 22:16

Oui, oui, j' avais commencé par vérifier avec la pyramide 4 côtés et 45° d' inclinaison.

Je me disais bien que dans le bois, le dixième de degré était déjà un exploit...

Tiens moi au courant...

Pour retrouver ton topic plus tard, une fois connecté, clique sur le petit bonhomme en haut à gauche.

A + marbisou

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 22:22

Je n'y manquerai pas, tu peux en être sûr. Toutefois, sois patient ...je fais de belles choses ....mais à mon rythme.

A très bientôt

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 22:25

J' ai une patience d' ange

Bon travail!

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 31-08-10 à 22:48

Juste une dernière question. Je ne suis pas expert en informatique et je voudrais savoir comment tu affiches tes formules sur le forum. Sont-ce des scan ?
Rien à voir avec le sujet qui nous occupe, mais je suis curieux.

Merci

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 31-08-10 à 23:17

Le \LaTeX; cela demande un petit apprentissage...

Clique sur la maison: [lien]

ou bien clique sur le symbole 4$\Sigma en haut à droite de la page...

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 06-09-10 à 18:02

Salut Cailloux,

Après vérification dans la pratique, ta formule fonctionne à merveille; tu es donc le meilleur !
Tu m'enlèves une grosse épine hors du pied. Merci encore.

A+
Marbisou

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 06-09-10 à 18:06

Bonjour marbisou,

N' exagérons pas...

Et de rien

Posté par
cailloux Correcteur
re : Angle de coupe 06-09-10 à 18:11

Et merci d' être revenu nous tenir au courant!

Posté par
marbisou
re : Angle de coupe 06-09-10 à 18:50

Mais de rien, c'était pour faire avancer le "schmilblik"

Posté par
sdvd
re : Angle de coupe 26-08-20 à 14:30

Bonjour,

Je vous remercie pour cette formule, cependant j'aurais aimé connaitre la démonstration qui à permis d'arriver à ce résultat.
Quelqu'un serait-il capable de faire la démonstration de la formule?

Merci et bonne journée.

Posté par
lake
re : Angle de coupe 27-08-20 à 20:39

Bonjour,

  Je ne sais pas (plus?) ce que cailloux avait en tête à l'époque. Une solution purement analytique avec un dessin où figurent:

  - La face SAB.

  - Le plan horizontal OAB.

  - I milieu de  [AB].

  - L'angle d'inclinaison de la face : \alpha=\widehat{SIO}

  - L'angle \widehat{IOA}=\dfrac{\pi}{n}

  - Le repère orthonormé OXYZ que j'ai choisi.

Angle de coupe

L'angle \varphi que l'on cherche est l'angle du dièdre formé par les plans SAB et SAO

  C'est donc aussi (à \pi près) l'angle de vecteurs normaux à ces plans soit \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2}

  Je me suis arrangé pour que ces vecteurs soient de norme 1. Dans le repère choisi, on a quasiment immédiatement:

  \overrightarrow{n_1}\,(\sin\,\alpha,0,\cos\,\alpha ) et  \overrightarrow{n_2}\,\left(\sin\,\dfrac{\pi}{n},\cos\,\dfrac{\pi}{n},0\right)

et \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=\cos\,\varphi=\sin\,\dfrac{\pi}{n}\,\sin\,\alpha
 \\

Posté par
malou Webmaster
re : Angle de coupe 28-08-20 à 08:38

bonjour à tous
10 ans plus tard...bravo ! comme quoi un forum correctement tenu sans scan pour les énoncés a du bon pour retrouver les sujets abordés

Posté par
sdvd
re : Angle de coupe 28-08-20 à 10:18

Bonjour,

Merci beaucoup Lake d'avoir pris le temps répondre.
J'ai bien compris la démonstration.
Pensez-vous qu'il soit possible de démontrer cela en utilisant uniquement la trigonométrie? Je suppose que oui mais j'imagine que cela doit être bien plus fastidieux.

Pour ceux qui se poserait la question, La démonstration utilise les propriétés \sin x = cos (\frac{\Pi }{2} - x) et \cos x = sin (\frac{\Pi }{2} - x) pour obtenir les coordonnées des vecteur normaux.

Oui Malou, c'est là tout l'intérêt d'un forum, il garde son historique. Nul besoin de reposer 100 fois les mêmes questions parce que le passé devient introuvable.

Merci encore et bonne journée.

Posté par
lake
re : Angle de coupe 28-08-20 à 17:42

On n'échappe pas au produit scalaire; une nouvelle figure :

Angle de coupe

- H est la projection orthogonale de O sur le plan de la face SAB.

- J est construit: c'est l'intersection de la perpendiculaire au plan (vertical) SAO issue de O et de la droite (AB)

  - J est donc un point commun au plan horizontal et au plan SAB et (HO)\perp (HJ).

- L'angle cherché \varphi est l'angle de deux vecteurs \overrightarrow{OH} et \overrightarrow{OJ}

 \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OJ}=OH^2  (avec H projection orthogonale de J sur (OH)).

\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OJ}=OH.OJ\,\cos\,\varphi=OH.\dfrac{OI}{\sin\,\beta}\,\cos\,\varphi=\dfrac{OH^2}{\sin\,\alpha\,\sin\,\beta}\,\cos\,\varphi

  d'où \cos\,\varphi=\sin\,\alpha\,\sin\,\beta

À toi de me dire si la figure est lisible ...

Posté par
Kernelpanic
re : Angle de coupe 28-08-20 à 18:01

Bonjour,

je passe juste par là pour remercier lake et ses figures, je suis toujours admiratif des beautés qui en ressortent et qui me permettent d'apprécier le problème initial .

Bonne journée.

Posté par
lake
re : Angle de coupe 28-08-20 à 18:05

Bonjour Kernelpanic,

Tu es bien gentil : vois-tu, je ne suis pas très satisfait de ma dernière figure; à force de la regarder, je la trouve illisible

Posté par
lake
re : Angle de coupe 29-08-20 à 14:29

Bonjour,

Je n'ai pas résisté; autre solution avec une épure de géométrie descriptive :

  Angle de coupe

On peut se référer à la perspective de 17h42. Les notations sont les mêmes.

La droite  (OJ) est confondue avec la ligne de terre.
La droite (si,s'i') edt rabattue dans le plan frontal de projection en s'i'_1 en sorte que l'angle \alpha soit vu en vrai grandeur en \widehat{s'i'_1O}.
Le point H  projection de O sur le plan SAB est construit en (h,h') à partir de son  rabattement dans le plan frontal en  h'_1.
Le point (h,h') est ensuite rabattu dans le plan horizontal de projection autour de la charnière ligne de terre en h_0
L'angle cherché \varphi apparait alors en vraie grandeur en \widehat{h_0Om}.

Reste quelques petits calculs :

 \cos\,\varphi=\dfrac{Om}{Oh_0} et on a Oh_0=Oh'_1 (Segment [OH] vu en vraie grandeur dans les deux plans de projection).

\cos\,\varphi=\dfrac{Om}{Oh'_1}=\dfrac{Om}{Oh}\,\dfrac{Oh}{Oh'_1}=\dfrac{Om}{Oh}\,\dfrac{On}{Oh'_1}

\cos\,\varphi=\cos\,\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)\,\cos\,\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)

\cos\,\varphi=\sin\,\alpha \,\sin\,\beta

Posté par
sdvd
re : Angle de coupe 04-09-20 à 10:59

Bonjour Lake,

Merci pour ces nouvelles démonstrations. C'est très intéressant et instructif.

Je n'ai pas encore eu le temps de me pencher sur ta dernière solution mais je le ferai dès que possible.

Je me suis penché sur la deuxième par contre et je pense avoir compris l'idée qui consiste à dessiner les normales aux plans formant l'angle recherché et ensuite utiliser la trigonométrie pour arriver au résultat. Cependant il me manque une notion qui m'empêche de comprendre pourquoi nous pouvons dire que les droites \left(HO \right) et \left(HJ \right) sont perpendiculaires. Surement une évidence de par la construction du point J mais qui reste floue pour moi.

Posté par
lake
re : Angle de coupe 04-09-20 à 14:50

Bonjour sdvd,

La droite (HJ) est une droite du plan SAB (puisque H appartient à ce plan ainsi que J qui appartient à la droite (AB) donc au plan SAB).

La droite (HO) est par  définition perpendiculaire au plan SAB donc orthogonale à toute droite de ce plan.

En particulier : HO\perp HJ.

Posté par
sdvd
re : Angle de coupe 04-09-20 à 15:14

Merci pour ce complément. C'est très clair.

Posté par
lake
re : Angle de coupe 04-09-20 à 15:24

De rien sdvd.

La dernière figure est une épure de géométrie descriptive.

Si on ne connait pas, elle est difficile à ... décrypter ...

Posté par
sdvd
re : Angle de coupe 04-09-20 à 15:39

Ce type de géométrie me fait penser au Trait de charpente utilisé pour calculer les angles de coupe de pièces de bois de manière graphique dans la charpente traditionnelle. C'est la notion de vraie grandeur qui m'y a fait pensé.
Je vais essayer de comprendre cette dernière méthode dès que j'aurai le temps de m'y pencher et je reviendrai pour avoir quelques explications si nécessaire ou tout simplement pour informer que j'ai compris.

Merci encore pour toutes ces solutions. C'est très intéressant.

Posté par
lake
re : Angle de coupe 04-09-20 à 19:29

Citation :
Ce type de géométrie me fait penser au Trait de charpente utilisé pour calculer les angles de coupe de pièces de bois de manière graphique dans la charpente traditionnelle. C'est la notion de vraie grandeur qui m'y a fait pensé.


Tu penses bien !

J'attends la suite.



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