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angles alternes internes et symétrie centrale

Posté par
Plot
26-03-23 à 07:56

Bonjour,
Considérons deux droites parallèles d et d' et une sécante delta. On note A et B les points d'intersection des deux droites paralléles avec la sécante et on note O le milieu du segment [AB].
Pour prouver que deux angles alternes-internes sont de même mesure, on peut montrer que ces deux angles sont symétriques par rapport à la symétrie centrale de centre O.
Par construction A est le symétrique de B par rapport à O mais j'ai du mal à justifier que si je prends un point E sur d' alors son symétrique par rapport à O est sur la droite d.
J'aurais tendance à utiliser le théorème de Thalès mais celui-ci n'est pas disponible en 5ème.
Auriez-vous une idée ?
Merci.

Posté par
malou Webmaster
re : angles alternes internes et symétrie centrale 26-03-23 à 09:06

Bonjour

j'ai modifié le forum de ta question, il me semble qu'elle concerne les enseignants

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : angles alternes internes et symétrie centrale 26-03-23 à 09:09

Bonjour,
Si la somme des angles d'un triangle fait partie des prérequis, j'utiliserais la perpendiculaire à d issue du point O. Ou même de n'importe quel point du segment AB.
Et ceci sans utiliser de symétrie.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : angles alternes internes et symétrie centrale 26-03-23 à 09:10

Bonjour malou

Posté par
carpediem
re : angles alternes internes et symétrie centrale 26-03-23 à 09:35

salut

sans dessin c'est difficile de voir ... mais je considèrerai plutôt la translation de vecteur AB puis ensuite je travaillerai avec les angles de sommet B (angles opposés par le sommet et angles supplémentaires)

Posté par
malou Webmaster
re : angles alternes internes et symétrie centrale 26-03-23 à 09:45

Bonjour à tous
attention, le fait que j'aie bougé le sujet de forum, on ne voit plus que le demandeur s'inscrivait dans un programme 5e...

Posté par
Plot
re : angles alternes internes et symétrie centrale 26-03-23 à 15:24

Merci pour vos réponses.

Sylvieg : cette façon de faire est intéressante car complètement abordable en 5ème. La seule chose qui me gêne c'est que la démonstration classique de "la somme des angles d'un triangle est 180°" utilise justement la propriété sur les angles alternes internes et le parallélisme. Donc c'est le serpent qui se mord la queue.
Carpediem : en 5ème on ne parle pas de translation mais c'est une bonne idée exploitable de façon non formelle.

En fait j'ai dans l'idée de leur faire utiliser du papier calque, de leur faire tracer un des deux angles internes en B et de leur demander de déplacer le sommet de l'angle initialement en B le long de la droite Delta jusqu'en A sans faire tourner le papier calque. Pour qu'il se rende compte que quand on se déplace dans une direction sans tourner (sans effectuer de rotation), on ne change pas la direction ou l'orientation d'une droite. Donc la demi-droite issue B devient la demi-droite issue de A (quand celles-ci sont parallèles).
Cela permet de comprendre que pour passer d'un angle à son complémentaire on se "translate" et donc on ne change pas la mesure de l'angle (quand les droites sont parallèles).

Pour ce qui est des angles alternes internes, on peut effectivement s'appuyer sur le fait que les angles complémentaires sont de même mesure puis utiliser la propriété sur les angles opposés par le sommet (là il est simple de le justifier par symétrie centrale).

Sinon je me disais que je pouvais utiliser la propriété "le symétrique d'une droite (d1) par symétrie centrale est une droite (d2) parallèle à (d1)" (propriété que j'ai énoncé dans le cours de symétrie sans la démontrer mais bon...)
Donc le symétrique de (d') passant par B par rapport à O est une droite paralléle à (d') passant par A; c'est donc (d). Ainsi l'angle en B se retrouve en A par symétrie de centre O. Je ne sais pas si je suis claire.
Après je ne compte pas faire de chose formelle, je me dis que la manipulation est importante et j'essaie de les faire s'interroger afin qu'ils imprègnent les propriétés. Mais je trouve quand même dommage qu'il n'y ait pas de ressources "pour le prof" avec toutes les preuves construites par niveau.



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