bonjour

par symétrie par rapport la médiatrice commune des deux côtés [LK] et [IJ] tu as l'égalité des angles suivants:

I=J et L=K

maintenant
considère L' le projeté orthogonal de L sur (IJ). Tu as
L=Pi/2+(ILL')
le triangle ILL' étant droit en L' donc (ILL')=Pi/2-I
donc L=Pi/2+(Pi/2-I)=Pi-I

en résumé:
J=I
L=Pi-I
K=Pi-I

Merci Watik

Il semble que je n'aie pas posé le problème suffisamment clairement:

Imaginons un cadre composé de tiges rigides qui a une forme de trapèze au départ. Ce cadre est modifié et l'angle I varie.

Comment exprimer explicitement les autres angles en fonction de la nouvelle valeur de I ?

si les tiges sont rigides
et si les liaisons sont mobiles mais solides (seules les rotations sont possibles)
et si IJKL doit demeurer un trapèze

Alors il ne sera pas possible de déformer IJKL à moins de tordre les tiges.

pour t'en convaincre (tu peux utiliser GEOGEBRA):
Trace le cercle C1 de centre I et de rayon IL
Trace un deuxième cercle C2 de centre J et de rayon JK
Choisis une position L' sur ce cercle après avoir tourné IL d'an angle 'a' à partir de la position précédente.
Construis K' tel que LKL'K' soit un parallélogramme (car IJKL doit demeurer un trapèze)
tu constates que (L'K') ne coupera jamais C2.

Effectivement Watik, le quadrilatère devient quelconque. Le caractère trapézoïdal est uniquement lié à la situation initiale, et je l'ai mentionné pour poser le contexte.

Il s'agit donc de trouver dans un quadrilatère,
  - dont la seule propriété remarquable est l'égalité des longueurs de deux côté opposés
  - dont toutes les longueurs sont connues
  - dont un angle est connu
une relation donnant explicitement la valeurs des trois autres angles.