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Angles orientés et vecteur nul

Posté par
Bouboux
03-03-23 à 23:52

Bien le bonjour,


Soit C d'affixe -1, D d'affixe -i et M d'affixe z.

On a l'équivalence suivante :
\frac{z+i}{z+1} est un imaginaire pur \Leftrightarrow
(\vec{MC}, \vec{MD}) = \frac{\pi}{2} [2\pi]

On voit que la première proposition exclut que M et C soient confondus ( z \neq -1 ).

Mais j'aimerais savoir si la deuxième proposition en soit exclut également z = -1 ?

Ce qui signifierait que (\vec{0}, \vec{MD}) est impossible.
Mais dans ce cas (\vec{MC}, \vec{0}) devrait être impossible aussi non ?
Or la première proposition n'exclut pas le point D.


Merci beaucoup pour vos réponses !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Angles orientés et vecteur nul 04-03-23 à 07:50

Bonjour,

0 est il un imaginaire pur ?

Posté par
Bouboux
re : Angles orientés et vecteur nul 04-03-23 à 11:06

Bonjour

J'ignore si 0 est un imaginaire pur.

Mais si c'est le cas, ça signifie que la première proposition exclu également le point D d'affixe -1.

Mais qu'en est-il de la deuxième proposition :

Est-ce que (\vec{MC}, \vec{MD}) = \frac{\pi}{2} [2{\pi} exclu M = C ou M = D ?

J'ai lu que le vecteur nul formait un angle de pi/2 avec n'importe quel vecteur, si cela est vrai ça voudrait dire que la deuxième proposition n'exclut ni C, ni D.

Et qu'ainsi cette équivalence que j'ai trouvé dans la correction d'une annale de bac ne serait pas tout à fait exacte.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Angles orientés et vecteur nul 04-03-23 à 11:31

0 est un nombre réel jusqu'à nouvel ordre....
donc oui l'écriture

"\dfrac{z+i}{z+1} est un imaginaire pur"

implique obligatoirement que z est différent de -i et de -1

quant à l'angle d'un vecteur nul ... tout dépend de ce qu'on appelle "angle" ...

à mon sens il n' y a aucune définition correcte de l'angle d'un vecteur nul avec quoi que ce soit.

quel sont les angles d'un triangle ABA ?
on est obligé de passer à la limite (quand le vecteur tend vers un vecteur nul) et de lever l'indétermination qui en découle (0/0) pour en déduire une "extension par continuité" lorsque cela a éventuellement un sens (selon la façon dont se déforme le triangle ABC quand C tend vers A)

la prétendue équivalence de l'énoncé n'est (implicitement) valable que si z différent de -i et de -1, et que M est différent de C et de D
condition implicite qu'il vaudrait bien mieux faire figurer explicitement dans l'énoncé et/ou dans la rédaction/démonstration.

un exemple classique :
le lieu des points M avec (MA, MB) = +/- pi/2 est le cercle de diamètre AB, privé des points A et B car l'angle (AA, AB) n'est pas définissable.
on peut "étendre par continuité" au cercle complet
si on dit à la place :
lieu des points M avec \vec{MA}.\vec{MB} = 0

(MA, MB) = +/- pi/2 n'est donc pas totalement équivalent à \vec{MA}.\vec{MB} = 0

Posté par
carpediem
re : Angles orientés et vecteur nul 04-03-23 à 12:27

salut

Bouboux @ 04-03-2023 à 11:06

J'ai lu que le vecteur nul formait un angle de pi/2 avec n'importe quel vecteur, si cela est vrai ça voudrait dire que la deuxième proposition n'exclut ni C, ni D.
.

un vecteur non nul définit une direction : celle de toute droite dont il est (vecteur) directeur

le vecteur nul n'a donc pas de direction et ne forme certainement pas d'angle (quel qu'il soit) avec un autre vecteur

par contre le produit scalaire de deux vecteurs étant proportionnel à leur norme il est donc nul lorsque l'un des deux vecteurs est nul

c'est dans ce cadre qu'on interprète et dit que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur (donc à lui-même aussi)

Posté par
Bouboux
re : Angles orientés et vecteur nul 04-03-23 à 20:22

D'accord, merci beaucoup pour vos réponse !

C'est curieux qu'une chose soit vraie dans un cadre et pas dans un autre.

Posté par
carpediem
re : Angles orientés et vecteur nul 04-03-23 à 20:44

par extension on dit que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur non nul u puisque son produit scalaire est nul (ce qui caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs non nul) mais il lui est aussi colinéaire puisque 0 = 0u

c'est pourquoi il faut être attentif et rigoureux ... dans les cas limites ...

Posté par
Bouboux
re : Angles orientés et vecteur nul 05-03-23 à 16:02

Bonjour,

Ah oui d'accord, merci pour vos réponses !

Qu'est-ce que vous appelez un cas limite s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : Angles orientés et vecteur nul 05-03-23 à 17:22

ben par exemple de parler d'angle orienté de deux vecteurs non nuls et ce qui se passe si l'un des vecteurs devient nul ...

ou encore d'un "vrai" triangle ABC qui devient plat, d'un "vrai" cercle dont le rayon tend vers 0 ...

Posté par
Bouboux
re : Angles orientés et vecteur nul 06-03-23 à 13:29

Bonjour,

Ah oui d'accord lol

Merci !

Posté par
carpediem
re : Angles orientés et vecteur nul 07-03-23 à 10:02

de rien



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