salut

est-ce une réelle énigme ou une question à la mord moi le n... de je ne sais qui ?

pour être bien aligné ... avec quoi ?

Bonjour carpediem,


j'ai trouvé amusant de transposer en énigme cet exercice proposé avec humour dans un recueil de niveau "post-bac"

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il s;agit d'un alignement de 3 points, mais lesquels ?

Bonjour,

Vu la première réaction un peu dédaigneuse et quasi discourtoise, sans doute cet exercice sous forme d'énigme n'est pas dans les intentions de ce forum.
Je précise quand même simplement que :

le domaine concerné est celui des coordonnées barycentriques dans un plan où figure un triangle ABC,
le point S baptisé "Savant cosinus" a évidemment pour coordonées par rapport aux points A, B et C
avec les angles suivants  

nul dédain ni discourtoisie !!! mais simplement aucune idée de vers où ou vers quoi aller

avec ton dernier post je vois un peu mieux la situation ... mais je ne vois toujours pas où il faut aller et même avec ton blank

wait and see ... as we said usually ... des fois que d'autres passants aient une idée ...

Bonjour ,
moi je suis aller fouiller dans l'ETC (Encyclopedia of Triangle Centers), et même chez Wolfram pour avoir la définition de ce "triangle extangentiel"
mais je ne trouve que des abominations du genre point de Clawton : il est le centre d'homothétie entre le triangle orthique et le "triangle extangentiel" (sic) etc ...
le point S est le conjugué isogonal du point de Clawton, ça nous fait une belle jambe, tiens ...

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Citation :
X(63) lies on these lines:
1,21 2,7 3,72 6,2221 8,20 10,46 19,27 33,1013 36,997 37,940 48,326 55,518 56,960 65,958 69,71 77,219 91,921 100,103 162,204 169,379 171,612 190,312 194,239 201,603 210,1004 212,1040 213,980 220,241 223,651 238,614 240,1096 244,748 304,1102 318,412 354,1001 392,999 404,936 405,942 452,938 484,535 517,956 544,1018 561,799 654,918 750,756

1,21 est la droite passant par X1 (centre du cercle inscrit) et X21 (le point de Schiffler sic)
2,7 est la droite passant par X2 (centre de gravité) et X7 (le point de Gergonne, celui là je le connais )

Bonsoir,

---> mathafou :

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Dans un triangle il y a un point remarquable dont les coordonnées barycentriques s'expriment en tangentes des moitiés des angles aux sommets.
J'ai trouvé assez humoristique l'association d'un point "savant cosinus" aligné sur la droite entre ce point et le centre de gravité du triangle.

vham

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effectivement le point de Gergonne dont les coordonnées barycentriques sont effectivement (tanA/2; tanB/2; tanC/2)

Bonne nuit,

un indice intéressant était dans le titre de cette "énigme"...

Bonjour,

--> carpediem : Avec votre manière souvent concise mais toujours précise, trouvez-vous toujours cette énigme "à la...." (Je n'ai pas compris la fin ) ?
Pensez-vous que donner la démonstration de l'alignement soit aisé? (Je me suis contenté de tracés sur Geogebra)

constater un alignement approché avec Geogebra, d'accord...
pour une preuve , il faut déja définir les points de façon précise
à mon avis le plus direct ici serait avec les coordonnées barycentriques

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G = (1, 1, 1)
S = (cos A, cos B, cos C)
Ge = (tan A/2, tan B/2, tan C/2)

et ensuite ... des calculs sur la condition d'alignement de points en coordonnées barycentriques et les innombrables relations trigo

c'est à dire prouver que le déterminant



ou utiliser à la place des fonctions trigo les côtés a,b,c du triangle pour les coordonnées barycentriques
trouvés dans ETC :
G (X2) : toujours (1, 1, 1) bien entendu
Ge (X7) : 1/(b + c - a), 1/(c + a - b), 1/(a + b - c)
S (X63) : ?? (que uniquement celles en cosinus !)

ou un mix des deux donc ...

Merci mathafou,

Je voulais juste titiller carpediem
Déterminant = 0 à démontrer, oui mais je ne me suis pas lancé encore.
référence : "Université Claude Bernard-Lyon I Année 2011-2012 coordonnées barycentriques"
Agrégation interne de Mathématiques : Géométrie,
dernier exercice "Le Savant Cosinus" dans le .pdf de 3 pages

vham : je ne vois toujours pas quel est exactement le troisième point .... sauf à lire les interventions de mathafou

et alors maintenant le pb revient à un ""simple"" calcul ... qui ne semble pas si simple que ça !!! je fais confiance à mathafou pour cela !!!

bof,
pour les calculs de déterminants et de coordonnées barycentriques ce n'est pas ma tasse de thé
il y a d'excellents spécialistes de ça sur Les-mathematiques.net ...
(raison pour laquelle je n'y intervient que rarement, avec un autre pseudo d'ailleurs, c'est trop "calculatoire" à mon goût)

Bonjour,

carpediem :
Je dois donc dire explicitement que les 3 points dont l'alignement était cité sont le centre de gravité, le point de Gergonne et le point "Savant Cosinus" dans un triangle.
mathafou :
Pour ce dernier il existe une construction géométrique décrite dans Le bulletin N° 457 de l'APMEP par François Rideau en figure 3.
Eventuellement utile pour démontrer géométriquement l'alignement ?

Je ne suis pas spécialiste de la géométrie du triangle, mais après que mathafou m'ai remis en mémoire le théorème de Pascal (pour l'hexagone) je me suis intéressé aux coordonnées barycentriques et je suis tombé sur celles du "Savant Cosinus"...

correctif pour l'orthographe : ...après que mathafou m'ait remis en mémoire...