Niveau première

Angles vecteurs non nuls

Posté par
Minineutron 11-11-07 à 21:54

Bonsoir, j'ai un exercice , je ne comprends pas :s

A) Soit u et v deux vecteurs non nuls.
1) Exprimer (u,-v), (-u,v) et (-u,-v) à l'aide de (u,v).
2) Soit x et y deux réels non nuls. montrer que :
a) si xy>0 alors (xu,yv)=(u,v).
b) si xy<0, alors (xu,yv)= (u,v) + pi.
3) Montrer que, quels que soietn les réels non nuls, x et y:
2(xu,yv)=2(u,v) [2pi].
Peut-on en déduire que (xu,yv)=(u,v).

Pouvez-vous m'aider? je ne comprends vraimetn pas

Posté par re : Angles vecteurs non nuls 12-11-07 à 11:53

Bonjour,

A)1) $(\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi\;\;[2\pi]$

$(-\vec{u},\vec{v})=(-\vec{u},\vec{u})+(\vec{u},\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi\;\;[2\pi]$

$(-\vec{u},-\vec{v})=(-\vec{u},\vec{u})+(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi+\pi=(\vec{u},\vec{v})+2\pi=(\vec{u},\vec{v});\;[2\pi]$

2) Les mesures de l' angle orienté $(\vec{u},\vec{v})$ sont données par les mesures de l' angle des vecteurs unitaires associés: $(\frac{1}{||u||}\vec{u},\frac{1}{||v||}\vec{v})$ par définition.

$(x\vec{u},y\vec{v})= (\frac{1}{||x\vec{u}||}x\vec{u},\frac{1}{||y\vec{v}||}y\vec{v})=(\frac{1}{|x|\,||\vec{u}||}x\vec{u},\frac{1}{|y|\,||\vec{v}||}y\vec{v})\;\;[2\pi]$

a) $xy>0$

si $x>0$ et $y>0$ : $|x|=x$ et $|y|=y$

$(x\vec{u},y\vec{v})=(\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})\;\;[2\pi]$

si $x<0$ et $y<0$ : $|x|=-x$ et $|y|=-y$

$(x\vec{u},y\vec{v})= (-\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},-\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})=(\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})\;\;[2\pi]$ d' après 1)

Donc si $\fbox{xy>0 \;\;\;(x\vec{u},y\vec{v})= (\vec{u},\vec{v})\;\;[2\pi]}$

b) $xy<0$

si $x>0$ et $y<0$ : $|x|=x$ et $|y|=-y$

$(x\vec{u},y\vec{v})= (\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},-\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})=(\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})+\pi=(\vec{u},\vec{v})+\pi\;\;[2\pi]$ d' après 1)

si $x<0$ et $y>0$ : $|x|=-x$ et $|y|=y$

$(x\vec{u},y\vec{v})= (-\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})=(\frac{1}{||\vec{u}||}\vec{u},\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v})+\pi=(\vec{u},\vec{v})+\pi\;\;[2\pi]$ d' après 1)

Donc si $\fbox{xy<0 \;\;\;(x\vec{u},y\vec{v})= (\vec{u},\vec{v})+\pi\;\;[2\pi]}$

3)En multipliant les deux membres par 2, on obtient pour les deux expression:

si $xy>0\;\;\;2(x\vec{u},y\vec{v})=2(\vec{u},\vec{v})\;\;[2\pi]$

si $xy<0\;\;\;2(x\vec{u},y\vec{v})=2(\vec{u},\vec{v})+2\pi=2(\vec{u},\vec{v})\;\;[2\pi]$

d' où: $\fbox{\forall x\not=0,\forall y\not=0,\;\;\;2(x\vec{u},y\vec{v})=2(\vec{u},\vec{v})\;\;[2\pi]}$

La réponse à la dernière question est non; on peut seument écrire l' égalité modulo $\pi$ :

$\fbox{\forall x\not=0,\forall y\not=0,\;\;\;(x\vec{u},y\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})\;\;[\pi]}$

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