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Annale mélangeant suites et fonctions
Bonjour,
C'est bientôt les partiels du coup je m'entraîne sur différentes annales des années précédentes. Il y a un exercice qui mélange les suites et les fonctions sur lequel je n'arrive pas à avancer. Merci en avance à tous ceux qui vont m'aider en ces périodes de fête.
Voici l'énoncé :
Soit Un une suite définie par récurrence Un+1 : 1/1+Un2 avec U0 appartenant à ]0;1]
1) Démontrer par récurrence que Un est bien définie et que Un appartient à ]0;1]
U0 vraie inutile de détailler
Supposons PN vraie, démontrons 0<Uk+1<=1
0<Uk<=1 par HR
0<Uk2<=1
1<1+Uk2<=2
1+Uk2 > 1 > 0 donc 0 < 1 / 1+Uk2 < 1
0 < Uk+1 < 1 donc Uk+1 appartient à ]0;1[ et donc inclus dans ]0;1]
Uk est bien définie
2) On considère la fonction : 1 / 1 + x2
Montrer que l'équation f(x) = x admet une unique solution dans R
On pose g(x) = f(x) - x = -x3 - x + 1 / 1 + x2
Démontrons que g(x) = 0 admet une solution dans R
lim g(x) quand x tend vers - infini = + infini
lim g(x) quand x tend vers + infini = - infini
Il existe donc c tel que f(c) < 0
d tel que f(d) > 0
donc d'après le TVI il existe une solution tel que g(x) = 0
On dérive g(x) et on remarque que la fonction est strictement décroissante donc la solution est unique.
3) Cette question je n'y arrive pas fin du moins je ne la comprends pas
Montrer que si la suite (un)n≥0 converge, alors sa limite est l
Mon premier reflexe a été de penser aux propriétés de croissance et de convergence. J'ai donc essayé de calculer Un+1-Un mais je remarque que le résultat varie en fonction de 0 et que donc la suite n'est ni croissante ni décroissante. Du coup je ne sais pas quoi faire pour montrer que la suite converge......
4) Montrer qu'il existe a > 0 tel que pour tout x ∈]0, 1]
on a -a ≤ f'(x) < 0
a>= -f'(x) > 0 ce qui équivaut à 0< - f'(x) <= a
Cela revient à chercher un maximum pour - f'(x) sur 0,1
Je dérive -f'(x) = 2x / (1+x)2
Je trouve comme dérivée = -2x - 2x2 + 2 / (1+x)4
Je fais mon tableau de variation et je trouve que la fonction -f'(x) est décroissante entre 0 et 0.61 (environ) et croissante entre 0.61 et 1.
Mon a équivaut donc à -f'(0.61).
4) En déduire, en appliquant le théorème des accroissements finis, que pour tout n ∈ N, on a
−α ≤ un+1 − l / un − l < 0
Il faudrait démontrer que (un+1 - l / un - l) + a < 0 (je ne suis pas sûr??)
On sait avec la question 3 que je n'ai pas réussi que la limite de un est l donc l>un
Par TAF, il existe c appartenant à [0;n] tel que f'(c) (n-0) = f(n) - f(0)
et là je ne suis plus comment avancer....
J'ai mis l'énoncé en entier pour que ça soit le plus compréhensible possible. Il y'a d'autres questions où je coince (ce sont les suivantes) mais je vais d'abord essayer de faire les 2 et peut etre je comprendrais les prochaines.
Merci 
bonjour,
le L est la solution de la question 2)
Si (un) converge , Note L sa limite , alors L=1/(1+L²) car Un+1=1/(1+Un²)
Bonsoir, désole de ma réponse tardive.
Il faut donc juste dire que la limite de Un+1 est 1/(1+L²) car lim Un = L ?
Bonsoir,
Je réponds en l'absence deDOMOREA.
Montrer que si la suite (un)n≥0 converge
Il est demandé de le supposer et d'en déduire qu'alors la limite est L.
(Il vaut mieux utiliser L que l que l'on peut confondre avec 1)
Si la suite (un) converge vers une limite L réelle, alors (un+1) converge aussi vers L.
Et la suite (1/(1+(un)2)) converge vers 1/(1+L2).
Comme les deux suites sont égales, on en déduit L = 1/(1+L2).
L est donc la solution de l'équation x = f(x) du 2).
Tu as certainement rencontré déjà cette situation en terminale.
Et peut-être vu un théorème.
PS Pour les fractions écrites en ligne avec le symbole /, il faut des parenthèses. Voir
la FAQ du forum
LaTeXsalut
il serait bien de ne pas oublier les parenthèses et de connaitre le signe =
Un+1 : 1/1+Un2 signe = ?
2) On considère la fonction : 1 / 1 + x2
Montrer que l'équation f(x) = x admet une unique solution dans R
On pose g(x) = f(x) - x = -x3 - x + 1 / 1 + x2 parenthèses ?
Démontrons que g(x) = 0 admet une solution dans R
lim g(x) quand x tend vers - infini = + infini
lim g(x) quand x tend vers + infini = - infini
Il existe donc c tel que f(c) < 0 f ou g ?
d tel que f(d) > 0 f ou g ??
donc d'après le TVI il existe une solution tel que g(x) = 0
On dérive g(x) non on dérive g et on remarque que la fonction est strictement décroissante donc la solution est unique.
PS : si on veut vraiment utiliser la dérivée :
de plus g(0) = 1 et g(1) = -1/2
donc l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans l'intervalle [0, 1] ...
f est décroissante donc effectivement les termes alternent inférieur/supérieur/inférieur/supérieur ...
on ne sait pas si la suite converge !!
mais si la suite converge alors sa limite est donnée en 2/
Merci Sylvieg pour votre réponse.
C'est bon j'ai compris le principe de la question 3 ce n'est pas très compliqué en vrai mais juste je ne vois pas c'est quoi le théorème qui montre que L est la solution de l'équation f(x)=x du 2. De même je ne vois pas pourquoi la limite de Un équivaut à la solution de f(x)=x
Désole je n'avais pas fais gaffe aux parenthèse j'y prêterais attention la prochaine fois.
Merci carpediem d'avoir corrigé les quelques erreurs que j'ai fais et d'avoir détaillé un peu plus la réponse mais comme pour la réponse de Sylvieg je ne vois pas pourquoi cette solution qu'on a trouvé en 2 équivaut à la limite de notre suite.
« f est décroissante donc effectivement les termes alternent inférieur/supérieur/inférieur/supérieur ... » comment on démontre ceci également ? pourquoi si f est décroissante les termes alternent ?
Bonjour,
Si la suite (un) converge vers une limite L réelle, alors (un+1) converge aussi vers L.
Et la suite (1/(1+(un)2)) converge vers 1/(1+L2).
Comme les deux suites sont égales, on en déduit L = 1/(1+L2).
L est donc la solution de l'équation x = f(x) du 2).
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