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Anneau commutatif

Posté par
Rintaro 01-09-22 à 14:18

Bonjour,

je profite de ma connexion internet pour vous poser ce petit exercice que j'ai trouvé il y a quelques jours (de ce que j'ai compris, c'est un classique d'algèbre). Soit A un anneau non nul tel que :

\forall a \in A ~:~ a^3 = a

Montrer que A est commutatif. Amusez-vous bien et n'oubliez pas de blanker !

Je sais que certains membres habitués du coin détente ne connaissent pas les notions de groupe, anneau etc... je me permets de les rappeler ici étant donné que tout le monde peut résoudre cet exercice avec les définitions classiques. Ceux qui les connaissent peuvent ignorer.

Un groupe commutatif est la donnée d'un ensemble G et d'une loi interne + : G \times G \to G vérifiant :

i) ~ \forall x,y \in G ~~:~~ x + y = y + x ~~~~~~\text{(commutativité)}\\ ii) ~ \exists 0 \in G ; ~\forall x \in G ~~:~~ x + 0 = x ~~~~\text{(existence d'un neutre)} \\ iii) \forall x \in G, ~\exists (-x) \in G ~~;~~ x + (-x) = 0 ~~\text{(existence d'un opposé/symétrique)} \\ iv) ~ \forall x,y,z ~:~ x + (y + z) = (x + y) + z ~~~\text{(associativité de la loi +)}

On notera x - y pour x + (-y).

Un anneau est la donnée d'un ensemble A non vide et de deux lois internes + : A \times A et * : A \times A \to A vérifiant :

i) ~~(A,+) ~\text{est un groupe commutatif} \\ ii) ~~\forall a,b,c \in A ~~:~~ a * (b * c) = (a * b) * c ~~~~\text{(associativité de *)} \\ iii) ~~\forall a,b,c \in A ~~:~~ a * (b + c) = a*b + a*c ~~~~\text{(distibutivité à gauche de * sur +)} \\ iv) ~~\forall a,b,c \in A ~~:~~ (a+b)*c = a*c + b*c ~~~~\text{(distibutivité à droite de * sur +)}

On notera xy pour x*y.

Remarquez que les éléments d'un anneau A ne possèdent pas nécessairement un symétrique/inverse pour * et que cette loi ne possède pas toujours un élément neutre et n'est pas toujours commutative. Nous nous plaçons ici dans un cadre totalement général.

Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 01-09-22 à 16:35

Bonjour,

Juste pour tester le blank

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Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 02-09-22 à 09:45

pour info, c'est la solution que je connaissais.

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* Modération > Coquille rectifiée *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Anneau commutatif 02-09-22 à 16:07

Merci alfpfeu pour cette solution d'une question pas facile...
Il me semble qu'il y a une coquille après

Citation :
Maintenant, remarquons que pour a \in A

Posté par
Ulmierere : Anneau commutatif 02-09-22 à 21:15

Attention parce que cette solution utilise sans démonstration le fait que que a \times 0_A = 0_A pour tout a\in A.
Il manque une étape qui est a\times(0+0) = a\times 0 + a\times 0 ce qui implique par régularité de (A,+) que a\times 0 = 0.
On l'utilise sans arrêt quand on écrit que a(-b) = -ab, ce qui équivaut à a(b-b) = 0, ie a\times 0 = 0

---------------------

Voici une autre preuve redoutablement efficace qui utilise ce fait et sa conséquence immédiate : a(-b) = (-a)b = -ab. On a également (-a)(-b) = ab trivialement.


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Posté par
verdurinre : Anneau commutatif 02-09-22 à 22:30

Bonsoir Ulmiere.
Les égalités (ab)^3 = a(ba)^3b et a(ba)b = (ab)^2 ne me semble pas vraiment évidentes.

Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 03-09-22 à 04:42

Bonjour,

Sylvieg Oui, il y a une coquille c'est à la puissance 3 et pas 2.

Ulmiere Effectivement, merci pour la précision.

Comme verdurin je comprends pas comment tu peux écrire que (ab)^3=a(ba)^3b
Comme c'est associatif, j'imagine que l'on peut écrire que (ab)^3=ababab=a(ba)^2b mais pourquoi c'est égal à   a(ba)^3b ?

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Anneau commutatif 03-09-22 à 08:19

Bonjour,
@alfpfeu,
La coquille que j'ai repérée peut perturber une lecture sereine de la démonstration que tu as proposée.
Dans le forum détente, on se permet quelques entorses au règlement.
Je propose au choix :
De signaler sous le blank de ton message la coquille de ta démonstration
ou
de la rectifier carrément.
Dis-moi si tu es d'accord pour une des deux propositions.

Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 03-09-22 à 10:10

Bonjour Sylvieg

Je veux bien changer mon message mais comment je fais pour modifier un message existant?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Anneau commutatif 03-09-22 à 10:20

Seuls les modérateurs peuvent le faire.
Et je viens de le faire

Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 03-09-22 à 10:21

merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Anneau commutatif 03-09-22 à 11:23

La démonstration de Ulmiere semble démontrer ceci :
Si a3 = a pour tout a de A alors a2 = a = -a pour tout a de A.
Mais /6 avec les lois usuelles est un contre exemple.

Posté par
Ulmierere : Anneau commutatif 03-09-22 à 15:39

Ah oui effectivement je me suis un peu emballé. voici une autre preuve, correcte cette fois j'espère, pour me faire pardonner


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Posté par
Sylvieg Moderateurre : Anneau commutatif 03-09-22 à 16:17

Je ne comprends pas

Citation :
pour a quelconque, puisque (a^2)^2 = a^2

Posté par
Ulmierere : Anneau commutatif 03-09-22 à 16:19

Sylvieg @ 03-09-2022 à 16:17

Je ne comprends pas
Citation :
pour a quelconque, puisque (a^2)^2 = a^2


Associativité du produit

(a^2)^2 = a^2a^2 = a^3 a = a a = a^2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Anneau commutatif 03-09-22 à 16:40

OK !

Posté par
Rintarore : Anneau commutatif 04-09-22 à 13:47

Bonjour à tous et excusez-moi pour cette réponse tardive, je n'avais plus Internet.

Félicitations à tous, je pense que j'ai eu un cheminement de pensée similaire à alfpfeu dans la résolution du problème (et je tiens à dire que la preuve de Ulmiere est un peu plus astucieuse et que je l'apprécie beaucoup).

Pour alfpfeu (je ne sais pas s'il est vraiment utile de blanker maintenant, mais sait-on jamais) :

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Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 05-09-22 à 02:12

Bonjour,

Visiblement ce résultat se généralise mais nécessite d'utiliser quelques connaissances supplémentaires, Théorème de Jacobson.

J' ai trouvé cette ressource qui est intéressante, (et montre aussi une autre idée en considérant l'isomorphime entre A et 2Ax3A).


Merci

Posté par
alfpfeure : Anneau commutatif 05-09-22 à 02:32

un* isomorphisme


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