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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Anneau cyclique fini

Posté par
raisinsec
21-02-21 à 15:14

Salut,

J'ai une question sur les anneaux cycliques d'ordre n.
Si on suppose qu'on a un anneau A tq \left(A,+ \right)\cong (/n,+), a un générateur de A

Mon exo me demande :
1) Montrer que a est inversible
2) Montrer que la multiplication de a^{2} détermine la multiplication de A
3) Montrer que A est isomorphe a /n en tant qu'anneaux
4) Construire deux multiplications sur le groupe abélien (/2x/2,+) qui le munissent de deux structures d'anneaux non isomorphes.

Je pense avoir réussi les 2 premières mais je ne vois pas comment aborder la 3)
J'ai vu que il existe un unique morphisme d'anneaux entre et A, on peut essayer de se servir de ça mais je vois pas où ça mène, j'arrive pas à en construire un explicitement et j'ai du mal à me servir des hypothèses et de la 2)

Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 15:17

Bonjour,

Dis nous ce que tu as fait sur les deux premùières questions, on pourra partir sur cette base.
Je ne comprends pas trop la question 2). Est-ce l'énoncé exact ?

Posté par
ThierryPoma
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 15:18

Bonjour,

Une structure d'anneau ; vraiment ? Es-tu certain de ton énoncé ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 15:26

ThierryPoma
Oui il s'agit bien d'anneaux. Mais c'es cyclique en tant que groupe abélien, c'est pour ça que j'ai mis la loi de composition

GBZM
Oui l'énoncé est exact
D'accord j'explique ce que j'ai fait

Pour la 1) je dis que comme A est cyclique de générateur a, il existe un entier k tq k*a=1A, avec k.a=a+...+a, k fois
On a donc en prenant kA=1A+...+1A, k fois
que kA.a=1A donc a est inversible
Je prends des précautions en différenciant k et kA mais c'est peut être un peu trop.

Pour la 2), si on a x,y dans A, x=k*a, y=l*a
On a x.y=kA.a.lA.a=(kl)A.a2
Donc on a juste a connaitre a2 pour pouvoir multiplier tous les éléments de l'anneau

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 15:48

Il y a vraiment écrit les mots "la multiplication de a^2" ? J'ai du mal à le croire. Enfin passons.

Tu as un entier k tel que k.a=1_A. Est-ce que k est inversible modulo n ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 16:45

C'est ce qu'il y a d'écrit, mais le prof n'est pas francophone.

C'est à dire ? k inversible dans /n? Si c'est ce que tu veux dire je pense que oui, on a comme inverse f(a)

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 16:55

Hum ... C'est justement pour définir l'isomorphisme que je te pose la question ..

Alors, peux-tu démontrer que k est inversible modulo n ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 17:38

Non pas vraiment.
J'ai essayé de montrer que k est générateur de /n mais j'ai du mal.

Est ce que f:/nA, \bar{m}\rightarrow m_{A} fonctionne ? C'est naif et son s'éloigne de  a mais on sait jamais.

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 18:28

Pourquoi ton f serait-il bien défini ?

Tu sais que ka=1_A et que les pa pour p=0,1,\ldots,n-1 sont les n éléments de A. Hum, mezalor les kp a^2 pour p=0,\ldots,n-1 sont aussi les n éléments de A ...

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 19:43

Dans l'autre sens alors.

Mezencor ? Je vois pas vraiment où tu veux aller, t'as raison mais la on est dans A alors que tu voulais montrer que k est inversible modulo n. Mais sans morphisme on peut pas passer d l'un à l'autre.
Tu veux peut être utiliser ça pour définir un morphisme de A vers /n en jouant sur l'écriture des éléments pour définir la multiplication

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 21:09

raisinsec @ 21-02-2021 à 19:43


Mezencor ? Je vois pas vraiment où tu veux aller,


Ben, je l'ai clairement dit, non ? Je voudrais que tu montres que k est inversible modulo n. Et je t'ai donné une piste :
GBZM @ 21-02-2021 à 18:28

les kp a^2 pour p=0,\ldots,n-1 sont aussi les n éléments de A ...

Dois-je enfoncer le clou ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 21:48

Je bloque pour être honnête, c'est le genre de choses qui m'arrive, comme tu as pu t'en rendre compte sur la topologie quotient.  Le truc c'est que k a un inverse dans A, qui est a=ja2 pour un certain j, en utilisant ce que tu as dit. Mais sans morphisme, comment aller dans /n
Et je glisse un merci pour ta patience, pour ma défense, c'est la rentrée.

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 22:03

Est-ce que a^2 est un générateur de (A,+) ?
Combien y a-t-il de p parmi 0,\ldots,n-1 tels que kpa^2=a^2 ?
Que peux-tu dire d'un tel p ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 21-02-21 à 22:29

Mes réponses avant d'aller dormir.
Oui, si x\in A, x=pa=kpa^{2}\Rightarrowx<a^{2}>

Un seul, celui tq pa=a^{2}

J'ai envie de dire qu'il s'agit d'un inverse de k.

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 09:13

Une envie de dire, c'est bien, une démonstration c'est nettement mieux.
Tu peux le faire.

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 14:10

Mmh, 1_{A}=ma^{2} car a^{2} est générateur, or kpa^{2}=a^{2}\Rightarrow mkpa^{2}=ma^{2}\Rightarrow kp=1_{A}

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 14:34

Non, tu t'emmêles les pinceaux, là. Je ne vois pas trop ton implication, et tu aboutis à un produit d'entiers qui est l'élément neutre pour la multiplication de A. Ça ne colle pas.

Reprenons. a^2 engendre (A,+) qui est un groupe cyclique d'ordre n. On a donc un isomorphisme DE GROUPES ADDITIFS

\large \begin{aligned}
 \\ \Z/n\Z & \longrightarrow A\\ q&\longmapsto qa^2
 \\ \end{aligned}

Par ailleurs, k est l'entier parmi 1,\ldots,n-1 tel que ka=1_A. On sait aussi qu'il existe un entier p tel que a^2=pa. Par conséquent, il existe un entier p tel que a^2=kpa^2. Que dire alors de l'entier kp au vu de l'isomorphisme de groupes additifs ci-dessus ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 15:02

Bah pour moi c'est juste une notation, pa n'a pas de sens non plus en terme de multiplication dans A, mais on note pa=a+...+a p fois, c'est pour ça que je différenciais k et k_{A}. On peut voir k et p comme étant des sommes de 1_{A}, et après essayer de passer dans /n

On a que f(kp)=kpa^{2}=a^{2}=f(1), par bijectivité on a kp=1, avec k et p des classes d'équivalence dans /n et des entiers quand on multiplie par a^{2} j'imagine

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 16:01

Tout groupe abélien est canoniquement un \Z-module., et pa a parfaitement un sens pour cette structure de \Z-module. Par contre, écrire qu'un entier est égal à un élément de A n'a pas de sens.
Si tu écris des choses qui n'ont pas de sens, comment veux-tu faire un raisonnement qui tienne debout ?

Je ne comprends pas la fin de ta dernière phrase : "et des entiers quand on multiplie par a^{2} j'imagine". Qu'est-ce que ça veut dire ?

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 16:14

Je ne sais toujours pas ce qu'est un module, mais je te fais confiance. Mais je pense que dans ce cas la définition de pa est définie par la somme de a, p fois, si c'est le cas ça ne change rien.

Je n'ai pas dit qu'un entier était égal à un élément de A, mais on ne peut pas identifier une somme de 1_{A} avec une somme de 1 ? Dans mon raisonnement je vois k et p comme étant des sommes de 1_{A}. Ce sont k_{A} et p_{A}. Ça ne marche pas comme ça ?

Dans la définition de ton isomorphisme de groupes tu utilises le même q alors que dans/n c'est une classe d'équivalence, mais pas après, donc j'imagine qu'on le considère comme un entier ensuite.

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 16:37

A est aussi un \Z/n\Z-module puisqu'en tant que \Z-module, tous ses éléments sont annulés par n. Mais passons, puisque tu ne sais pas encore ce qu'est un module (c'est comme un espace vectoriel, sauf que les scalaires sont dans un anneau au lieu d'être dans un corps).

raisinsec @ 22-02-2021 à 16:14

Je n'ai pas dit qu'un entier était égal à un élément de A, mais on ne peut pas identifier une somme de 1_{A} avec une somme de 1 ? Dans mon raisonnement je vois k et p comme étant des sommes de 1_{A}. Ce sont k_{A} et p_{A}. Ça ne marche pas comme ça ?

Gros problème : au stade où tu en es, que sais-tu du groupe additif engendré par 1_A ? Tu supposes implicitement qu'il est d'ordre n ? Mais n'est-ce pas justement ce qu'on cherche à démontrer ?
Faire cette identification, c'est à coup sûr s'emmêler les pinceaux.

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 17:52

D'accord

Ok je ne fais plus ça, mais ce que j'ai fait ne marche pas ?

raisinsec @ 22-02-2021 à 15:02

On a que f(kp)=kpa^{2}=a^{2}=f(1), par bijectivité on a kp=1, avec k et p des classes d'équivalence dans /n et des entiers quand on multiplie par a^{2} j'imagine

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 18:02

OK, à part que je ne comprends toujours pas la fin de ta phrase.

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 18:18

Et la ? Si on considère A comme un -module la suite ne sert à rien.

raisinsec @ 22-02-2021 à 15:02

On a que f(kp)=kpa^{2}=a^{2}=f(1), par bijectivité on a kp=1

Posté par
GBZM
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 18:57

Oui, dans \Z/n\Z, puisque c'est le domaine de l'isomorphisme.

Bon, je crois que tu pourrais conclure.

Posté par
raisinsec
re : Anneau cyclique fini 22-02-21 à 21:18

T'es optimiste.

Je pense a f:A\rightarrow/n définie par f(ja)=\bar{pj}
Morphisme de groupes, f(1_{A})=f(ka)=\bar{kp}=\bar{1}
Et f(ma.ja)=f((mj)a^{2})=f(qa) pour un certain q[0,n-1]
On a qa=(mj)a^{2}\Rightarrow q1_{A}=(mj)a\Rightarrow kq1_{A}=mj1_{A}\Rightarrow q1_{A}=pmj1_{A}\Rightarrow qa=pmja
donc f(mja^{2})=\bar{p2mj}=\bar{pm}\bar{pj}=f(ma)f(ja)

Je te laisse me dire ce que t'en penses, et si je suis pas sur la bonne voie, ne te gênes pas pour enfoncer le clou.



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