Salut,
J'ai une question sur les anneaux cycliques d'ordre n.
Si on suppose qu'on a un anneau tq /,+), un générateur de
Mon exo me demande :
1) Montrer que est inversible
2) Montrer que la multiplication de détermine la multiplication de A
3) Montrer que est isomorphe a / en tant qu'anneaux
4) Construire deux multiplications sur le groupe abélien (/2x/2,+) qui le munissent de deux structures d'anneaux non isomorphes.
Je pense avoir réussi les 2 premières mais je ne vois pas comment aborder la 3)
J'ai vu que il existe un unique morphisme d'anneaux entre et , on peut essayer de se servir de ça mais je vois pas où ça mène, j'arrive pas à en construire un explicitement et j'ai du mal à me servir des hypothèses et de la 2)
Quelqu'un peut m'aider ?
Bonjour,
Dis nous ce que tu as fait sur les deux premùières questions, on pourra partir sur cette base.
Je ne comprends pas trop la question 2). Est-ce l'énoncé exact ?
ThierryPoma
Oui il s'agit bien d'anneaux. Mais c'es cyclique en tant que groupe abélien, c'est pour ça que j'ai mis la loi de composition
GBZM
Oui l'énoncé est exact
D'accord j'explique ce que j'ai fait
Pour la 1) je dis que comme A est cyclique de générateur a, il existe un entier k tq k*a=1A, avec k.a=a+...+a, k fois
On a donc en prenant kA=1A+...+1A, k fois
que kA.a=1A donc a est inversible
Je prends des précautions en différenciant k et kA mais c'est peut être un peu trop.
Pour la 2), si on a x,y dans A, x=k*a, y=l*a
On a x.y=kA.a.lA.a=(kl)A.a2
Donc on a juste a connaitre a2 pour pouvoir multiplier tous les éléments de l'anneau
Il y a vraiment écrit les mots "la multiplication de " ? J'ai du mal à le croire. Enfin passons.
Tu as un entier tel que . Est-ce que est inversible modulo ?
C'est ce qu'il y a d'écrit, mais le prof n'est pas francophone.
C'est à dire ? k inversible dans /? Si c'est ce que tu veux dire je pense que oui, on a comme inverse
Hum ... C'est justement pour définir l'isomorphisme que je te pose la question ..
Alors, peux-tu démontrer que est inversible modulo ?
Non pas vraiment.
J'ai essayé de montrer que k est générateur de / mais j'ai du mal.
Est ce que /, fonctionne ? C'est naif et son s'éloigne de a mais on sait jamais.
Pourquoi ton f serait-il bien défini ?
Tu sais que et que les pour sont les éléments de . Hum, mezalor les pour sont aussi les éléments de ...
Dans l'autre sens alors.
Mezencor ? Je vois pas vraiment où tu veux aller, t'as raison mais la on est dans A alors que tu voulais montrer que k est inversible modulo n. Mais sans morphisme on peut pas passer d l'un à l'autre.
Tu veux peut être utiliser ça pour définir un morphisme de A vers / en jouant sur l'écriture des éléments pour définir la multiplication
Je bloque pour être honnête, c'est le genre de choses qui m'arrive, comme tu as pu t'en rendre compte sur la topologie quotient. Le truc c'est que a un inverse dans , qui est =2 pour un certain , en utilisant ce que tu as dit. Mais sans morphisme, comment aller dans /
Et je glisse un merci pour ta patience, pour ma défense, c'est la rentrée.
Mes réponses avant d'aller dormir.
Oui, si <>
Un seul, celui tq =
J'ai envie de dire qu'il s'agit d'un inverse de .
Non, tu t'emmêles les pinceaux, là. Je ne vois pas trop ton implication, et tu aboutis à un produit d'entiers qui est l'élément neutre pour la multiplication de . Ça ne colle pas.
Reprenons. engendre qui est un groupe cyclique d'ordre . On a donc un isomorphisme DE GROUPES ADDITIFS
Par ailleurs, est l'entier parmi tel que . On sait aussi qu'il existe un entier tel que . Par conséquent, il existe un entier tel que . Que dire alors de l'entier au vu de l'isomorphisme de groupes additifs ci-dessus ?
Bah pour moi c'est juste une notation, n'a pas de sens non plus en terme de multiplication dans mais on note = fois, c'est pour ça que je différenciais et . On peut voir et comme étant des sommes de , et après essayer de passer dans /
On a que , par bijectivité on a =1, avec et des classes d'équivalence dans / et des entiers quand on multiplie par j'imagine
Tout groupe abélien est canoniquement un -module., et a parfaitement un sens pour cette structure de -module. Par contre, écrire qu'un entier est égal à un élément de n'a pas de sens.
Si tu écris des choses qui n'ont pas de sens, comment veux-tu faire un raisonnement qui tienne debout ?
Je ne comprends pas la fin de ta dernière phrase : "et des entiers quand on multiplie par } j'imagine". Qu'est-ce que ça veut dire ?
Je ne sais toujours pas ce qu'est un module, mais je te fais confiance. Mais je pense que dans ce cas la définition de est définie par la somme de , fois, si c'est le cas ça ne change rien.
Je n'ai pas dit qu'un entier était égal à un élément de , mais on ne peut pas identifier une somme de avec une somme de 1 ? Dans mon raisonnement je vois et comme étant des sommes de . Ce sont et . Ça ne marche pas comme ça ?
Dans la définition de ton isomorphisme de groupes tu utilises le même alors que dans/ c'est une classe d'équivalence, mais pas après, donc j'imagine qu'on le considère comme un entier ensuite.
est aussi un -module puisqu'en tant que -module, tous ses éléments sont annulés par . Mais passons, puisque tu ne sais pas encore ce qu'est un module (c'est comme un espace vectoriel, sauf que les scalaires sont dans un anneau au lieu d'être dans un corps).
D'accord
Ok je ne fais plus ça, mais ce que j'ai fait ne marche pas ?
Et la ? Si on considère comme un -module la suite ne sert à rien.
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