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Anneau d'ensembles
Bonsoir,
La question demande de trouver les éléments premiers d'un anneau d'ensemble (constitué des parties d'un ensemble non vide). Par définition, l'élément premier P, s'il existe, est non nul, non inversible et vérifie la propriété suivante: Si P divise le produit de deux parties A*B=A∩B alors P divise A ou P divise B.
Je ne vois pas par où commencer et donc toute indication me serait utile.
Merci d'avance
Bonsoir,
je suppose qu'il s'agit de l'algèbre de Boole des parties d'un un ensemble E. Avec A*B=A
B et A+B=A
B.
Dans ce cas le seul élément inversible est E.
Il s'agit donc de trouver les éléments Q de P(E) différents de l'ensemble vide tels que :
Q
AB 
(QA ou QB)
Bonsoir @verdurin,
Désolée de ne pas avoir précisé les opérations
Pour tout A, B éléments de P(E), A*B= AB et A+B=(AB^c)(BA^c) où A^c est le complément de A dans E.
Si Q divise AB, il existe une partie K tel que AB=QK
Donc AB Q
Alors le problème peut être réécris de la façon suivante:
AB Q AQ ou BQ
Je me suis en effet trompé pour la divisibilité. 
Il me semble que l'on peut montrer que :
( AB Q ( AQ ou BQ ) )( Q=E )
Ce qui veut dire qu'il n'y a aucun élément premier.
Tu en es sûr ?
Intuitivement parlant, je pense à l'existence d'un ensemble «légèrement » plus petit que E... Mais ce n'est qu'une intuition.
Une indication d'une autre source suppose que les éléments premiers P vérifient |P| = |E| -1 si E est finis. Je ne vois pas comment cela est possiblement démontrable!
Bonsoir,
divise
si et seulement si
, et
(l'élément neutre) est le seul inversible.
À partir de là il n'est effectivement pas difficile de trouver les éléments premiers.
Je me suis trompé, et l'autre source a raison ( même si E n'est pas fini, quoique qu'il faille une légère adaptation dans ce cas ).
Je n'ai toujours pas trouvé comment démontrer ce résultat à partir de la reformulation qu'on a faite pour l'élément premier Q:
AB P AP ou B P
Peux-tu donner une piste? @verdurin
A partir de la réponse donnée, on peut déjà avoir une idée ce que P peut-être: P U {x} = E pour un élément x n'appartenant pas à P.
Supposons que E est un ensemble fini
Prenons la plus grande partie S strictement incluse dans E.
S diffère donc de E par un seul élément x n'appartenant pas à S.
S{x} = E et |S| + 1 = |E|
Pour toute autre partie K de E, on a soit K={x} soit K S
Posons l'élément premier P = S
Pour tout A et B parties de E, si AB P, A ou B P
Ce qui montre que P est effectivement premier
Supposons que E est un ensemble fini
Prenons la plus grande partie S strictement incluse dans E.
Ceci n'a pas de sens. Il n'y a pas LA plus grande partie stricte de E.
S diffère donc de E par un seul élément x n'appartenant pas à S.
S
{x} = E et |S| + 1 = |E|S est le complémentaire dans E d'un singleton.
Pour toute autre partie K de E, on a soit K={x} soit K
SBien sûr que non. C'est faux.
Posons l'élément premier P = S
Non. Ce qu'on fait, c'est qu'on montre que S est premier.
Pour tout A et B parties de E, si A
B P, A ou B P
Ce qui montre que P est effectivement premier
Il y a là une affirmation, mais pas d'argument.
Le fait que E soit fini ne sert à rien.
Soit x un élément de E, S le complémentaire de {x} dans E. Pour toute partie C de E, S contient E si et seulement si x n'appartient pas à C.
Essaie de faire une rédaction propre, en mettant bien en valeur l'argument que tu utilises..
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