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Anneau de Boole
Bonjour à tous,
Sur un anneau de Boole (A,+,.) on a x2=x , j'ai montré que x+x=0 , ainsi que l'anneau A est commutatif.
1) Je ne sais pas établir la propriété : (
(x,y)
A2) x.y.(x+y)=0.
a-En déduire que si A est intègre il a deux éléments.
b-Quelle est alors sa structure ?
c-Montrer que tout anneau de Boole qui a des diviseurs de zéro a au moins quatre éléments.
2) Montrer que la relation binaire R définie par :
((x,y)A2) xRy 
x.y =x est une relation d'ordre dans l'anneau de Boole A.
a-Montrer que, pour l'ordre ainsi défini, A admet un plus grand élément et un plus petit élément.
b-Etablir que tout sous-ensemble (x,y) à deux éléments de A adment une borne inférieure et une borne supérieure.
Bonjour
En utilsisant la commutativité:
a) Si A est intègre, en prenant y=1, dans cette égalité on trouve x(x+1)=0, donc ou bien x=0, ou bien x=-1=1. (on sait que 1+1=0, donc -1=1).
b) C'est le corps à deux éléments, isomorphe à Z/2Z.
c) Supposons qu'il existe x et y non nuls tels que xy=0. Dans ce cas on ne peut avoir ni x=y, ni x=1, ni y=1, donc voilà au moins 4 éléments!
2) a) Pur formalisme!
b) 1 est le plus grand élément et 0 le plus petit
c) xy=inf(x,y) et x+y+xy=sup(x,y)
Merci camélia,
J'avais bien compris pour 1 et 0 ainsi que la nature de la structure de A car j'ai déjà "approché" l'algèbre de Boole, mais je ne sais pas formuler les démonstrations ni correctement diriger ma réflexion ( en 2 mots, dès le départ, je pédale dans tous les sens...).
Et, pour le 2)a, je ne peux simplement affirmer que c'est évident je pense, il me faut probablement étayer proprement mes dires ...Comment le dire ?
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