Salut,
Petite question sur le 0 d'un anneau de groupe. Si on a un groupe G, un anneau A, on peut former un anneau A[G] défini par les combinaisons linéaires finies d'éléments de G avec coefficients dans A : , on me dit que la somme est définie terme à terme et la multiplication est définie par
L'élément neutre pour la multiplication est 1A.1G, mais honnêtement j'ai du mal à voir pour la somme.
Quelqu'un peut m'aider ?
Bonjour
C'est la définition la plus naturelle.
Sans beaucoup de théorie, qu'aurais-tu envie de mettre comme résultat de
?
Merci pour la réponse
On a envie de faire une double distribution, j'imagine que c'est pour ça qu'on défini la multiplication de A[G] comme ça.
Mais je vois pas vraiment en quoi c'est utile pour l'élément neutre de la somme
D'accord mais si on a une combinaison linéaire d'éléments différents de 1G j'ai juste l'impression qu'on va ajouter un élément à la combinaison linéaire.
où an+1=0A, gn+1=1G qui m'a l'air différente de l'autre combinaison linéaire
Justement non, puisque est l'élément neutre de +.
Pense au polynômes en plusieurs variables. 1.X+0.Y?
Ok ok, l'exemple des polynômes à plusieurs variables est utile. Je pensais que même si le coefficient est nul, il avait une importance dans la combinaison, alors qu'en fait il signifie vraiment que l'élément n'est pas dans la combinaison.
En fait on peut écrire une combinaison linéaire finie comme une combinaison linéaire infinie avec un nombre infini de 0 en coefficients et un nombre fini de coefficients non nuls.
Mais du coup si on prend dans , est également un élément neutre pour la somme non ? On aurait alors plusieurs éléments neutres.
Attention en algèbre les combinaisons linéaires infinies ça n'existe pas. Dès que tu parles d'infini, c'est qu'il y a de l'analyse (et de la topologie) sous une forme ou sous une autre.
Pour la suite je ne suis pas sûr de ce que tu veux dire, ni des propriétés de l'action de groupe de A sur G que tu sous-entends (distribution ?)
Sais tu ce qu'est une algèbre sur un groupe (fini) ?
Est-ce bien une action de groupe, déjà, ou juste une notation ?
Si tu connais cette terminologie, d'après ce que je comprends, tu es en train de donner une structure de A-module à ton groupe G. Si tu veux, ça en fait un A-espace vectoriel (mais avec un anneau en guise de corps). R^4 est un R-espace vectoriel. Que vaut pour tous x,y,z,t ?
Ulmiere
D'accord, je pensais aux expressions formelles qu'on peut utiliser pour définir les polynômes.
Je ne parle pas d'action de groupes ici, je parle d'une double distribution comme on l'entend pour les anneaux.
Non je ne sais pas ce qu'est une algèbre sur un groupe fini, ni un module
GBZM
Oui mais du coup on a une infinité d'élément neutre non ? Si on a un groupe infini, on a alors que , A. est élément neutre, alors qu'il est sensé être unique non ?
Mais pour tous de .
Ton problème vient sans doute du fait que tu n'as pas une vision correcte de ce que sont les combinaisons linéaires à coefficients dans d'éléments de . Ce sont les où est une famille à support fini d'éléments de (ce qui veut dire que tous les sauf un nombre fini sont nuls).
Que ce soit ou ou , c'st toujours la combinaison linéaire où tous les coefficients sont nuls.
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