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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Anneau de groupe

Posté par
raisinsec
18-02-21 à 15:27

Salut,

Petite question sur le 0 d'un anneau de groupe. Si on a un groupe G, un anneau A, on peut former un anneau A[G] défini par les combinaisons linéaires finies d'éléments de G avec coefficients dans A : \left\{\sum_{I=1}^{n}{a_{i}g_{i}|n\geq 1, a_{i}\in A,g_{i}\in G} \right\}, on me dit que la somme est définie terme à terme et la multiplication est définie par \left( \sum_{i=1}^{n}{a_{i}g_{i}}\right)\left(\sum_{j=1}^{m}{a'_{j}g'_{j}} \right)=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{a_{i}a'_{j}(g_{i}g'_{j})}}

L'élément neutre pour la multiplication est 1A.1G, mais honnêtement j'ai du mal à voir pour la somme.

Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 15:41

Bonjour
C'est la définition la plus naturelle.
Sans beaucoup de théorie, qu'aurais-tu envie de mettre comme résultat de
(a_1g_1+a_2g_2)(a'_1g'_1+a'_2g'_2)?

Posté par
raisinsec
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 15:49

Merci pour la réponse

On a envie de faire une double distribution, j'imagine que c'est pour ça qu'on défini la multiplication de A[G] comme ça.
Mais je vois pas vraiment en quoi c'est utile pour l'élément neutre de la somme

Posté par
Camélia Correcteur
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 16:04

L'élément neutre de la somme est 0_A1_G par définition. On a 0_Ag=0_Ag pour tout g\in G.

Posté par
raisinsec
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 16:20

D'accord mais si on a une combinaison linéaire d'éléments différents de 1G j'ai juste l'impression qu'on va ajouter un élément à la combinaison linéaire.

\sum_{j=1}^{n}{a_{j}g_{j}}+0_{A}1_{G}=\sum_{j=1}^{n+1}{a_{j}g_{j}} où an+1=0A, gn+1=1G qui m'a l'air différente de l'autre combinaison linéaire

Posté par
Camélia Correcteur
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 16:29

Justement non, puisque 0_A1_G est l'élément neutre de +.

Pense au polynômes en plusieurs variables. 1.X+0.Y?

Posté par
raisinsec
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 16:40

Ok ok, l'exemple des polynômes à plusieurs variables est utile. Je pensais que même si le coefficient est nul, il avait une importance dans la combinaison, alors qu'en fait il signifie vraiment  que l'élément n'est pas dans la combinaison.

En fait on peut écrire  une combinaison linéaire finie comme une combinaison linéaire infinie avec un nombre infini de 0 en coefficients et un nombre fini de coefficients non nuls.

Mais du coup si on prend g dans G, 0_{A}.g est également un élément neutre pour la somme non ? On aurait alors plusieurs éléments neutres.

Posté par
Ulmiere
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 17:07

Attention en algèbre les combinaisons linéaires infinies ça n'existe pas. Dès que tu parles d'infini, c'est qu'il y a de l'analyse (et de la topologie) sous une forme ou sous une autre.

Pour la suite je ne suis pas sûr de ce que tu veux dire, ni des propriétés de l'action de groupe de A sur G que tu sous-entends (distribution ?)
Sais tu ce qu'est une algèbre sur un groupe (fini) ?
Est-ce bien une action de groupe, déjà, ou juste une notation ?

Si tu connais cette terminologie, d'après ce que je comprends, tu es en train de donner une structure de A-module à ton groupe G. Si tu veux, ça en fait un A-espace vectoriel (mais avec  un anneau en guise de corps).  R^4 est un R-espace vectoriel. Que vaut 0_R \times (x,y,z,t) pour tous x,y,z,t ?

Posté par
GBZM
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 19:15

Bonsoir,

0.X est aussi l'élément neutre de l'addition des polynômes, de même que 0.X^3 - 0.X^7.

Posté par
raisinsec
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 20:17

Ulmiere
D'accord, je pensais  aux expressions formelles qu'on peut utiliser pour définir les polynômes.

Je ne parle pas d'action de groupes ici, je parle d'une double distribution comme on l'entend pour les anneaux.

Non je ne sais pas ce qu'est une algèbre sur un groupe fini, ni un module

GBZM
Oui mais du coup on a une infinité d'élément neutre non ? Si on a un groupe infini, on a alors que gG, 0A.g est élément neutre, alors qu'il est sensé être unique non ?

Posté par
GBZM
re : Anneau de groupe 18-02-21 à 23:03

Mais 0.g=0.h pour tous g,h de G.

Ton problème vient sans doute du fait que tu n'as pas une vision correcte de ce que sont les combinaisons linéaires à coefficients dans A d'éléments de G. Ce sont les \sum_{g\in G} a_g.g(a_g)_{g\in G} est une famille à support fini d'éléments de A (ce qui veut dire que tous les a_g sauf un nombre fini sont nuls).
Que ce soit 0.e ou 0.g ou 0.h, c'st toujours la combinaison linéaire où tous les coefficients sont nuls.

Posté par
raisinsec
re : Anneau de groupe 19-02-21 à 10:01

Ah d'accord je crois que je vois.  On a plusieurs manière de l'écrire, mais en fait c'est la combinaison linéaire avec coefficients nuls.



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