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Anneau euclidien

Posté par
coa347 29-06-19 à 09:33

Bonjour,
Dans mon cours d'algèbre, à propos de l'anneau euclidien \Z[j], il est écrit pour x entier :
Si x \ne 0 \pmod 3, alors x+i \sqrt{3}  et x-i \sqrt{3} sont premiers entre eux dans \Z[j].

Il me semble que c'est faux. Pouvez-vous confirmer ?

Merci d'avance.

Posté par
matheuxmatoure : Anneau euclidien 29-06-19 à 11:37

bonjour

pourquoi penses-tu que c'est faux ? tu as un contrexemple ?

Posté par
matheuxmatoure : Anneau euclidien 29-06-19 à 11:39

(personnellement je pense aussi que c'est faux !... voyons un peu pour x=1)

Posté par
coa347re : Anneau euclidien 29-06-19 à 13:33

Merci matheuxmatou pour ta réponse.
Oui, j'ai un contre-exemple : pour x=1, x+i \sqrt{3} = 1+i \sqrt{3} =-2 j^2,  x-i \sqrt{3} = 1-i \sqrt{3} =-2 j.
Donc 2, qui n'est pas inversible dans \Z[j], divise x+i \sqrt{3}  et x-i \sqrt{3} , et  x non congru à 0 modulo 3 n'infirme pas ce résultat.

Peux-tu confirmer que je ne fais pas une erreur quelque part ? J'ai toujours un peu de mal quand je vois de telles erreurs dans un cours.

Posté par
jsvdbre : Anneau euclidien 29-06-19 à 13:48

Bonjour coa347.
Je te confirme que c'est bien ça.

Posté par
jsvdbre : Anneau euclidien 29-06-19 à 13:56

Je comprends mieux maintenant ceci : Application norme; tu étais en train d'étudier l'anneau \Z[j]

Posté par
coa347re : Anneau euclidien 29-06-19 à 20:16

Ok merci jsvdb !


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