Bonjour

Je note

Quelque chose cloche dans ton recopiage de ce qu'a écrit le prof. Les éléments de sont donc de la forme avec .

Faisons la division euclidienne . Alors . Comme , tout élément de est la classe d'un entier avec

Camelia pourquoi tu as utiliser la division euclidienne ? et est ce qu'on a le droit ? qu'elle est la condition de a !!

est un entier comme tous les entiers. Rien ne m'empêche de faire une division euclidienne!

Bonjour,

Remarque : Soit un anneau, un idéal de et . Alors,



Dans notre cas, posons et considérons



Il est aisé de montrer qu'il s'agit d'un morphisme d'anneaux où . D'autre part, l'on a, notamment en vertu de la remarque ci-dessus,



Soit . Comme , il existe et tels que .  D'autre part, remarquons que



Comme aussi, alors ; d'où . Réciproquement, l'on a trivialement . Ainsi obtient-on que .

Montrons que est surjective. Soit arbitrairement choisi. Or, le résultat découle de ce que



Par conséquent, par l'un des théorèmes d'isomorphisme, il s'ensuit que



comme attendu !