Niveau Master Maths

Anneau Z[X], idéaux maximaux

Posté par
FerreSucre 01-11-24 à 23:34

Bonjour ! J'espère que vous allez bien depuis le temps, je viens parce que je suis bloqué depuis hier sur une question, j'y réfléchis beaucoup mais je bloque… soit j'arrive pas à conclure soit je pars avec la mauvaise idée peut-être :/. Voici :

On a montré avant que si I est un idéal maximal de Z[X], alors InZ est un idéal premier de Z. Sachant que Z est principal on a qu'il existe p nombre premier si InZ est différent de 0, tel que InZ = (p).

La question est la suivante :

Supposons que InZ différent de 0. Montrer qu'il existe un nombre p premier et un polynôme P dans Z[X] tels que I = (p,P) et $p(P)$ est irreductible dans (Z/pZ)[X].

Ps : on a que l'application $p$ donne un isomorphisme de Z[X]/(p) -> (Z/pZ)[X]. Et on a montré dans une autre partie de l'exercice que si $p(P)$ est un polynôme irréductible dans (Z/pZ)[X] et que p est premier alors (p,P) est un idéal maximal. )

Posté par re : Anneau Z[X], idéaux maximaux 01-11-24 à 23:46

Mon idée : il est clair qu'il existe un p premier tel que (p) est inclus dans I. Donc la composante p en découle. Maintenant je sais qu'il existe P qui n'est pas dans (p), mais qui est dans I, car on a aussi montré avant que tous les idéaux principaux ne sont pas maximals.

Ensuite on pose P tel que deg P = min deg Q. Avec Q dans l'idéal I privé de 0, et de l'idéal (p).

On peut dire que P est irréductible dans Z[X] car (P) est dans I maintenant, et si P n'est pas irreductible, alors il existe U et V tel que P = UV avec U et V non inversible donc (P) inclus dans (U) par exemple d'où (p,P) ne serait pas maximal car inclus dans (p, U).

Maintenant je voulais supposer qu'il existe un polynôme Q tel que :

Q != p*U + P*V, et U,V dans Z[X]

Et je voulais arriver à une contradiction comme quoi I n'était pas maximal si il est d'une telle forme : (p, P, Q).
Avec par exemple 1 € (p, P, Q) mais j'arrive pas à le montrer.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Anneau Z[X], idéaux maximaux 02-11-24 à 00:18

Je viens peut-être d'avoir une idée vous me direz si ça fonctionne, je continue mon raisonnement :

D'après nos définitions on a deg Q >= deg P.
Or on peut faire descendre à coup sûr le degré de Q de 1 autant qu'on le souhaite :

Q - kX^{degQ - deg P}P - k'pX^{deg Q} =
Q - X^{deg Q - deg P}(kP -k'pX^{deg P})

est dans I. Et pgcd (a_{deg Q}, p) = 1 car p est premier, et (0 < a_{deg Q} < p, à noter que si a_{deg Q} = 0 c'est pas grave on passe au coef du dessous ect…)

Donc de cette façon je peux dire qu'il existe un polynome R qui découle de cette construction telle que deg R = deg P - 1. Or soit R = 0, et dans ce que cas Q était de la forme p*U + P*V.
Sinon R != 0, mais ça contredit la définition de P = min deg Q , car R € I.
D'où R = 0.

Très difficile à rédiger désolé, en plus j'arrive pas à faire fonctionner le latex. Y'a du avoir un changement que j'ai raté !