Bonjour à tous,

J'ai un exercice de mathématiques sur lequel je bloque et j'aurais besoin de vos conseils. Voici l'énoncé :

soit N = pq le produit de deux nombres premiers impairs, avec p≠ q. Montrer que
z(/N)   z = 1

*** message déplacé ***

super !

y a pas trop de questions !!

Voila l exercice : https://www.ilemaths.net/sujet-anneaux-892930.html

salut

vu que n est impair il semble raisonnable de penser que sauf pour le neutre 1 tout élément inversible peut s'apparier avec son inverse

ou encore que les inversibles de Z/nZ sont en nombres pairs (sans compter le neutre)

*** message déplacé ***

et pourquoi n'as-tu pas continué ici ?

Oui je sais qu on'a z=1,z=p-1 z=-1 mod p
et  z=1,z=q-1 z=-1 mod q mais comment continuer?

*** message déplacé ***

Bonjour,
@ilyass2004,
Si tu veux que l'on puisse comprendre quelque chose aux sommes que tu écris dans tes messages, utilise LaTeX avec son éditeur de l'île :


Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster

Je suis dubitative sur l'énoncé :
Que donne le produit pq dans /pq ?

j'avais eu la même réflexion !!

c'est pourquoi j'attendais la suite ...

mais peut-être parle-t-il de (donc du produit des inversibles de Z/nZ) et alors il me semble que c'est vrai

Dans /pq, le produit de la classe de p et de la classe de q donne ...
A moins que * désigne autre chose que "privé de 0" ?

* désigne le groupe des inversibles modulo pq

OK.

Bonjour,
J'ai tenté de voir ce qui se passe pour N = 15.
Les éléments inversibles sont 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 et 14.
Parmi eux, 1, 4, 11 et 14 sont leurs propres inverses.
Leur produit donne bien 1.

il faut (enfin peut-être) donc étudier la fonction

et regarder les g tels que et les g tels que et montrer qu'ils s'apparient par paire ...

je note I l'ensemble des inversibles de Z/nZ



donc

donc

affirmations ... pas loin d'être un peu gratuite !!     :

or les nombres premiers avec p et q sont en nombre pair
il y a un nombre impair d'inversibles g tel que f(g) = g

Je tente :
Les quatre éléments qui sont leur propre inverse sont
(p-1)(q-1), (p-1)(q+1), (p+1)(q-1) et 1.
Le produit donne 1.

Sylvieg  : je me doute bien que ces nombres interviennent mais je ne vois pas :

si g = (p - 1)(q - 1) est son propre inverse alors gg = 1

or

(la dernière égalité est là pour voir éventuellement mais comment cela fait-il 1 ?

merci par avance

Pas très disponible ce jour.
Je donne l'idée de départ :
n² 1 est équivalent à
p divise n-1 ou n+1 et q divise n-1 ou n+1.

Une autre idée qui n'aboutit peut-être pas non plus :
Si n² = 1 alors (pq-n)² = 1.
n et pq-n sont distincts car pq est impair.
Et on a n(pq-n) = -1.

Il reste à démontrer que le nombre de couples (n, pq-n) avec n² = 1 est pair.

Je rectifie et précise :
Il reste à démontrer que le nombre a d'entier n avec n² 1 [pq] et n < pq/2 est pair.

Par ailleurs, il semble que ce nombre a soit égal à 2 :
1 et un autre.

Je confirme que n²= 1 a 4 solutions dans /pq :
1, pq-1 et deux autres qui sont aussi opposées.

L'idée (mais il y a peut-être plus simple) :
(n-1)(n+1) = kpq avec k entier donne 4 cas :
a) p et q divisent n-1.
b) p et q divisent n+1.
c) p divise n-1 et q divise n+1.
d) p divise n+1 et q divise n-1.

Chacun des cas donne une unique solution.
a) et b) sont évidents.
Pour c), l'unicité est facile et l'existence se fait avec Bézout.
Idem pour d).