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anneaux
Bonjour
(A,+,*) un anneau tel que pour tout x de A, x^3=x, on veut montrer que A est commutatif
A1={x
A;2x=0} et A2={xA;3x=0}
a) Montrer que A1 et A2 sont des anneaux mais avec des unités a priori différentes de 1A que l'on notera 1A1 et 1A2
b) Montrer que A=A1+A2
Montrer que pour tous x A1 et yA2, on a xy=yx=0
c) Montrer que tout x de A1 vérifie x²=x et en déduire que A1 commutatif
d)Montrer que pour tout (u,v)A2², (uv=0) implique (vu=0)
e) xA2. Démontrer l'égalité 1A2=-(x²-1A2)-(x²-x)-(x²+x) et en déduire que tout y de A2 peut s'écrire y=y1+y2+y3 avec : xy1=(x+1A2)y2=(x-1A2)y3=0
f) Montrer que A2 commutatif
g) conclure
Milles mercis d'avance
Bonsoir djibril1515;
Commençons par établir un résultat dont on aura besoin par la suite:
preuve:
et en mutipliant par
on obtient le résultat.
a)Posons alors il est clair que
Pour on a
(car
)
Pour on a
(car
)
il est facile maintenant de vérifier que et
sont des anneaux de neutres respectifs
et
.
b)
à suivre.
elhor
Pour voir que on pourra d'abord remarquer que
car en effet si
tu as
et donc que
.
Soit alors et
je vais montrer que
et donc
qu'est le résultat souhaité.
Allons y:
donc
donc
ce qui achéve le b).
à suivre...
Sauf erreurs bien entendu 
Pouvez vous m'aidez pour la suite ( a partir du c) ) avant 13h svp. Merci d'avance
Bonjour
elhor_abdelali n'est pas une machine à ton service... Il t'a déjà aidé avec des réponses claires et propres qui t'ont surement bien lancées, maintenant c'est à toi de te débrouiller un peu tout seul.
Bonsoir Nightmare (Modérateur);
Je te remercie pour ta compréhention.
c)Soit on a:
Soit on a:
( car
)
l'anneau est donc bien commutatif ce qui achève le c).
Sauf erreurs...
Voilà djibril1515,j'espére que cela t'aidera pour la suite de l'exercice et comme te l'a fait remarquer Nightmare tu dois faire l'effort pour continuer tout seul.
Amicalement elhor
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