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anneaux

Posté par
Dibal 05-02-23 à 11:42

Bonjour ,

Soit \left(A, +,\times \ \right) un anneau commutatif , dont note respectivement 0_A,1_A \in A les éléments neutres additif et multiplicatif . On désigne e en outre par l'itération additive et l'on pose :

\forall(x,n)\in A\times\N ,x^{\underline{n}} \, =\prod_{k=0}^{n-1}{x-k\cdot1_A}

On demande de démontrer que :

\forall(x,y)\in A^2,\forall n \in \N ,(x+y)^{\underline{n}} \, =\sum_{k=0}^{n}{ \binom{n}{k}x^{\underline{n-k}}y^{\underline{k}

Je bloque principalement sur la démonstration à faire surtout sur la méthode , je suis tenté de faire une récurrence , mais que j'arrive pas à mettre en place , une idée pour me mettre sur la piste s'il vous plait

Posté par
GBZMre : anneaux 05-02-23 à 12:07

Bonjour,

Citation :
On désigne e en outre par l'itération additive
Qu'est-ce que ça veut dire ?

Posté par
GBZMre : anneaux 05-02-23 à 12:21

Re,
Il manque des parenthèse dans la définition de x^{\underline n}.
Une constatation qui peut donner des idées : si x est une entier naturel,  x^{\underline n}=\dfrac{x!}{(x-n)!}.

Posté par
Dibalre : anneaux 05-02-23 à 12:39

GBZM @ 05-02-2023 à 12:07

Bonjour,
Citation :
On désigne e en outre par l'itération additive
Qu'est-ce que ça veut dire ?


c'est ainsi marqué dans l'énoncé

Posté par
Dibalre : anneaux 05-02-23 à 12:40

GBZM @ 05-02-2023 à 12:21

Re,
Il manque des parenthèse dans la définition de x^{\underline n}.
Une constatation qui peut donner des idées : si x est une entier naturel,  x^{\underline n}=\dfrac{x!}{(x-n)!}.


A quel niveau ? je n'ai fait que recopier l'énoncé

Posté par
Dibalre : anneaux 05-02-23 à 12:41

et comment as tu aboutis à une telle constatation ?

Posté par
GBZMre : anneaux 05-02-23 à 15:25

1°) Alors cette phrase de l'énoncé ne veut rien dire.

2°) L'énoncé devrait donner x^{\underline n}=\prod_{k=0}^{n-1} \left(x-k\cdot 1_A\right)

3°) Si x est un entier naturel, n'es-tu pas d'accord que \prod_{k=0}^{n-1}(x-k)=\dfrac{x!}{n!}

Posté par
GBZMre : anneaux 05-02-23 à 15:26

coquille, lire \dfrac{x!}{(x-n)!}

Posté par
Dibalre : anneaux 05-02-23 à 16:37

par récurrence j'arrive à le montrer mais comment tu las déduis ?

Posté par
GBZMre : anneaux 05-02-23 à 18:22

Franchement, ce n'est pas difficile à voir quand on a un peu d'expérience.
Mais revenons à (x+y)^{\underline n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{\underline{n-k}} y^{\underline k}.
Tu es tenté de faire une récurrence. Fais-la, ce n'est pas trop difficile. L'initialisation ne pose pas de problème,. L'hérédité demande un peu d'habileté, mais rien de bien sorcier.


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