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anneaux quotients
bonjour,
je suis bloquée sur l'exercice 13 du Tome 2 du livre 'Exercices pour le capes" de Dany Jack Mercier.
Je vous préviens de suite, c'est la première fois que j'entends parler d'anneaux quotients, donc j'ai beaucoup de mal
Q1) Combien existe t il d'éléments inversibles dans Z/15Z? Enumérez ces éléments et précisez leurs inverses.
J'ai pigé pour le nb d'éléments inversibles.
Je ne comprend pas comment on trouve les inverses.
Et dans le corrigé, on donne l'inverse de 2 est 8 car 2*8=1 (tous ces nb avec des points dessus) ou encore 4*4=1.... Je vois pas du tout comment on obtient ça.
Q2)Construire le tableau des carrés.
Le tableau comprend 2 lignes a et a²(toujours avec des points dessus)
Que représente les nb de la ligne a? Est ce tous les restes possible lors de la division euclidienne d'un nombre par 15?
J'ai cru comprendre que la ligne a² était le reste de la division euclidienne du carrée de a par 15. Est ce cela?
Q4) Résoudre dans Z/15Z: x²+7x+3=0 et x²+3x+5=0
Comment calcule-t-on delta?
Pour la 2eme, les solutions sont x=(-3+racine(delta))/2 =8(-3+racine(delta))=6+8racine(delta):
on remplace /2 par 8, qui est son inverse dans l'anneau. OK mais pourquoi?
Et comment on arrive au final à 6+8racine(delta)?
Merci beaucoup pour votre aide
Tu connais la définition de Z/nZ ?
2*8 = 16, on prend le reste de la division euclidienne par 15, c'est 1.
Autrement dit, 2*8 
1 modulo 15, ou encore
2*8 = 1 dans Z/15Z par définition de cet ensemble.
Les inverses sont trouvés en faisant la table de multiplication dans Z/15Z.
Q2) La première ligne est celle des éléments de Z/15Z, ensemble des classes de congruence des entiers modulo 15. Un représentant de la classe est donc fourni par le reste de la division par 15. Tu as compris correctement la ligne des carrés. La consultation d'un livre d'algèbre et/ou une bonne recherche sur Wikipedia me paraissent indispensables pour te permettre de démarrer.
Q4) Diviser par 2, c'est multiplier par l'inverse. Ce n'est plus le 1/2 = 0,5 de R car on n'est pas dans cet ensemble et cet élément de R ne fait pas partie de Z/15Z. Par contre, dans Z/15Z, 2 a pour inverse 8, donc "diviser" par 2, c'est multiplier par 8.
Pour la racine carrée de delta, il faut lire le tableau des carrés à l'envers. Tu cherches delta dans la ligne des carrés, et tu en trouves une "racine carrée" dans Z/15Z dans la ligne du dessus. Il faut donc adapter les raisonnements en revenant aux définitions élémentaires et en conservant ce qui reste valable dans l'anneau.
ok c'est super merci beaucoup
par contre
Q4: pour x²+3x+5=0, je trouve delta=b²-4ac=9-20=-11 alors que dans la solution, c'est 4!!!
et pour la solution de cette equation
x=(-3+racine(delta))/2 =8(-3+racine(delta))=6+8racine(delta)
comment on passe de 8(-3+racine(delta)) à 6+8racine(delta)?
Q4: pour x²+3x+5=0, je trouve delta=b²-4ac=9-20=-11 alors que dans la solution, c'est 4!!!
et pour la solution de cette equation
x=(-3+racine(delta))/2 =8(-3+racine(delta))=6+8racine(delta)
comment on passe de 8(-3+racine(delta)) à 6+8racine(delta)?
Même principe. -11 = -15 + 4
4 (modulo 15)
Dans Z/15Z, -11 et 4 ont même classe (par convention celle de 4, le représentant compris entre 0 et 14) autrement dit on peut remplacer -11 par 4 quand on raisonne dans Z/15Z, donc delta = 4, une racine carrée de delta est donc 2.
8(-3) = -24 = -30 + 6 = -2.15 + 6
6 (modulo 15)
Donc x1 = 6 + 8.2 = 6 + 16 = 22 = 7 + 15 = 7 dans Z/15Z
x2 = 6 - 16 = - 10 = 5
On vérifie que (x-7)(X-5) = x2-12x+35 = x2+3x+5
de la même façon.
Tiboutchou,
il peut etre utile de reprendre un cours sur les Anneaux quotients et en particulier Z/nZ.
Ci-joint lien vers le cours de Jean-Etienne Rombaldi, tres clair
http://pagesperso-orange.fr/rombaldi/Capes/AlgebreChap22.pdf
Autre lien vers les autres "pans" de l'algebre toujours de JE Rombaldi
http://pagesperso-orange.fr/rombaldi/Capes/CoursAlgebre.htm
Je te conseille aussi le site Megamaths:
http://megamaths.perso.neuf.fr/
Bon courage, garde le moral, essaie de te focaliser sur des exercices simples qui te permettront d'assimiler les notions, evite les exercices de Taupe ou il faut trouver "l'astuce qui tue" et qui vont te foutre (pardon) le moral a zero.
Voici un site avec des exercices pas trop complique et souvent des indications pour les solutions.
http://math.univ-lyon1.fr/capes/spip.php?article52
(tu trouveras d'autres exercices sur Megamaths)
Michel
des le départ il faut reprendre rapidement ce que l'on fait au lycée pour trouver la formule qui donne les solutions d'une equation du second degré
écrire le début d'un carré = a^2-quelquechose
puis factoriser a^2-b^2
car pour ton équation dans Z/16Z par ex les formules ne marchent plus car on ne peut pas diviser par 2 qui n'est pas inversible puisque 2x8=0.
Et puis pour que cela marche il faut aussi que quelquechose soit un carré b^2 dans Z/nZ
ce n'est pas toujours le cas.
c'est l'équivalent de la condition discriminant positif
(dans les réels, la condition, le discriminant est un carré)
pour la recherche de racines réelles
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