bonjour,

l'univers W des possibilités est forme des 60-liste d'entiers choisis dans
N={1,2,3,..........,365} car on a suppose que chaque année possède 365 jours.
Il ya 365^60 60-listes possibles

je prends comme tribu l ensemble des partie de W et comme probabilite l equiprobabilite
SOit A l evenement " dans cette assemblé il N'y a PAS deux personnes nées le meme jour"

A est formée des 60-listes dont tous les termes sont disttincts deux a deux
c est a dire card (A)=365!/(365-60)!
et donc
p(A)=card(A)/card (W) =365!/(365^60*(365-60)!)

la probabilite cherchee est 1-p(A)=0.994

J-P a plus de chance de gagner le pari

merci pour l'egnime

Bonsoir,

voici un problème très célèbre (et surprenant).
En raisonnant avec les probabilités de l'évènement complémentaire (les dates d'anniversaires sont toutes différentes),
- pour 2 personnes, la proba pour qu'elles n'aient pas leur anniversaire le même jour est de _{(sur l'année 2005 avec 365 jours)}
   (en choississant pour la seconde un des 364 jours restants)
- pour 3 personnes, la proba pour qu'elles n'aient pas leur anniversaire le même jour est de
...
- pour 60 personnes, avec le même principe, la proba pour qu'aucune personne ne soit née le même jour qu'une autre
   est de soit
Ainsi, avec passage au complémentaire et , on obtient un pourcentage de
_{(donc d'au moins deux anniversaires le même jour)} d'environ !

(Plus surprenant les chances basculent du côté de J-P, dès 23 personnes!)

Merci pour l'énigme, _{surtout pour ceux qui ne la connaissaient pas}.

Le nombre total de cas possibles est :
365 pour le premier, 365 pour le second ..etc soit N= 365⁶⁰.
Le nombre de cas où aucune personne n'est née le même jour est égal à : 365 possibilités pour le premier, 364 pour le second …306 pour le 60ème.
soit n = 365 ! /305 !

   Donc, la probabilité qu'il  n'y  ait  aucune  coïncidence  de  dates d'anniversaires est :
  P _clemclem= 365! / (305! * 365⁶⁰) = 2,51/(7,82*5,46)  * 10⁷⁷⁸ /(10⁷⁷⁹) =0.0058
A comparer avec le complément : P_J-P = 1- 0,0058 =0,9942 (probabilité que au moins deux personnes soient nées le même jour).

   Il y a donc beaucoup plus de chances qu'au moins deux personnes soient nées le jour que l'inverse .
J-P a donc beaucoup plus de chances de gagner.. Je le soupçonne d'avoir fait rapidement son calcul sur un coin de table avant de parier...

En "numérotant" les personnes de 1 à 60, il existe façons de choisir des jours de naissance.
Parmi ces possibilités, il existe arrangements pour lesquels les 60 jours de naissance sont différents.

la probabilité que personne ne fête son anniversaire le même jour est

Si clemclem gagne son pari, je suis modérateur à la fin de la semaine.

Il est amusant de noter que les probabilités s'équilibrent lorsque l'assemblée compte 23 membres (J_P ayant toujours un peu plus de chance de l'emporter).

bonsoir,

c'est clemclem qui a plus de chance de gagner le pari  
car :

      


a plus tard

Paulo

Bonjour à tous

Et voila 1h30 que je suis sur cette enigme, alors que d'autres ont toruvé en 11 minutes ! Je suis sidéré .
J'ai du prendre mon bouquin d'anticipation à la prmeière chapitre proba, heureusement que j'avais un peu vu de quoi ca parlait au début, sans quoi je n'aurais certainement pas réussi .

Raisonnement:

En fait j'ai pas réussi en calculant directement la probabilité que deux personnes sur les 60 aient leur anniversaire commun. J'ai donc (enfin après m'être rendu compte que ca ne marchait pas) pris le cas inverse et calculé combien il y a avait de chance que ca narrive pas, c'est à dire aucun anniversaire identique chez les personnes.
Je considère donc une année de 365 jours. S'il y a 60 personnes dans la pièce alors pour le premier il y a 365 jours possibles, 364 pour le 2ème et ainsi de suites, il y a donc 365*364*363*...*306 cas favorables. Mais après (la où j'ai mis le plus de temps à réagir, c'est qu'il y a 365^(50) cas possibles pour chacun d'entre eux, ou plutôt nous parce que j'en fais parti . ET j'ai pu appliquer la formule du cours: (cas favorables)/(cas possibles) soit: (365*364*363*...*306)/(365^(50)) (taper à la calculette fut très long également, c'est la que je suis content d'avoir une T.I 89 qui calcule vite) et j'obtiens: 0.005877 . Donc pour avoir maintenant le cas inverse ou l'évenement contraire comme il dise dans le bouquin, on fait:1  - 0.005877 = 0.994123 et des brouettes. Donc plus de 99% de chances que cela se produise !

Conclusion: J-P a gagner son pari, et clemclem ben désolé mais va falloir payer

Merci pour tes enigmes qui à mon sens mérite plus de 2 étoiles... ouf je suis arrivé à mes fins, du moins je l'espère je ne voudrais pas me prendre un avec autant de temps consacré à cette enigme.

Kevin

A partir de 23 personnes la proba d'avoir deux anniversaires le même jour est de 1/2.
Donc c'est JP qui a raison (60>23).
Je sais pas si on considère ca comme justification, mais ca en est une bonne pour moi.

Bonjour, il est beaucoup plus probable qu'il y ait 2 personnes nées le même jour qu' aucune ne soient nées le même jour.
J-P a donc plud de chance de gagner le pari que Clemclem.

La probabilités qu'il n'y ait pas 2 personnes qui fêtent leur anniversaire le même jour (événement contraire de "dans cette assemblée, deux personnes au moins fêtent leur anniversaire le même jour") est : .

La probabilité que dans cette assemblée, deux personnes au moins fêtent leur anniversaire le même jour est donc : 1

J'espère que mes explications seront suffisantes, merci.

Salut,
il fo utiliser l assertion inverse soit
1-(aucun n a la mm date de naissance)
cela reviens a faire 60 tirage sans remise dans 365 jours
365!/305! sur 365^60
1-prod(306:365)/365^60=0.9941
99.41% de chance qu il y est 2 personnes avec la mm date de naissance
Clemclem va perdre...


PS:c moi ou ca sent le

     Bonsoir

     Soit une année de 365 jours

     la probabilite de trouver 2 personnes ayant le même jour
     d'anniversaire est de 1 -P
    
          avec P= (364x363x362...x306)/365⁵⁹

         soit environ 99% de chance pour J-P de gagner son pari !!




      

          
        

J-P est vraiment quasi sûr de gagner ! Y'a pas photo.

Nous allons en effet estimer la probabilité qu'aucune des 60 personnes n'ait son anniversaire le même jour. Pour cela, nous allons utiliser simplement la définition d'une probabilité, c'est à dire le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.
Les cas favorables d'abord :
La première personne à 365 possibilités de date d'anniversaire. La seconde en a 364 (son anniversaire ne peut pas tomber le même jour que le premier), le troisième 363 (pour que son anniversaire ne coïncide avec aucun des 2 premiers), etc... jusqu'à la 60ème personne, qui n'a plus que 306 possibilités de date d'anniversaire. Au total, le nombre de cas favorables égale 365*364*363*...308*307*306
Quant au nombre de cas possible, c'est 365 puissance 60, puisqu'il y a 60 personnes.
Je ne sais pas résoudre sans informatique la division  365*364*363*...306/(365⁶⁰), mais à vue de nez ça ne doit pas atteindre 1%

Il y a donc plus de 99% de chances pour que 2 personnes sur une assemblée de 60 aient leur anniversaire le même jour, et par le fait même pour que J-P gagne son pari.

Le problème eût été (admirez l'imparfait du subjonctij) différent si J-P avait dit "je parie qu'au moins une personne a son anniversaire le même jour que moi. Là, avec la date déterminée, chacun a 1/365 chances d'être né le même jour que J-P. Au total, avec les 59 participants, cela fait 59/365, soit 16% de chances seulement.

Je considère une année non bissextile (365 j)  et les dates de naissance équiprobables.
Le nombre total de cas possibles est :
365⁶⁰  = 5,4647 * 10¹⁵³
Calculons les cas où personne n'a son anniversaire le même jour  :
365*364*363*...306, soit : 365 ! /305 ! = 0,3209 * 10¹⁵²

La probabilité correspondante est donc de :  0,3209 * 10¹⁵²  / 5,4647 * 10¹⁵³  = 5,878 *10^-3
La probabilité que au moins deux personnes soient nées le même jour est donc de : 1 -5,878 *10^-3 = 0,994122

   J-P a énormément plus de chance que clemclem de gagner son pari.

Bonjour,

Réponse proposée :
J-P a le plus de chance de remporter le pari.

Méthode :
Proba pour que n personnes n'aient pas le même jour d'anniv.:
P(n)= 365x364x...x(365-n+1)/(365^n)
Proba que 2 au moins aient une date d'anniv. identique :
P'(n)=1-P(n)=1-365x364x...x(365-n+1)/(365^n)
Puisque c'est l'évènement contraire.

Avec n=60, on trouve une proba proche de 1,( 0,99998 ), supérieure à 0,5 => J-P a le plus de chance de gagner le pari.

Merci pour l'énigme,

Philoux

Heu je ne veux pas de smiley ni de poisson
je dirais clemclem
Pourquoi, parce que Clemclem est l'auteur de l'énigme et que (comme tous le monde) il n'a pas envie de perdre 15€ donc la réponse est clemclem comme ca ce sera JP qui donnera les 15 €

Skops

salut clemclem et bonjour à tous :

Notons A l'évenement " 2 personnes au moins ont leurs anniversaires le même jour "

Notons B l'évènement contraire " toutes les personnes du groupe ont des dates d'anniversaires différentes "


<=>

<=>

<=>


d'où :



donc pour simplifier on a :



Conclusion : c'est J-P qui a le plus de chance de remporter le pari (99,9%). Je crois que tu peux dire aurevoir à tes 15 euros clemclem ... où alors, c'est que t'es vraiment né dans une marmite de chance lol

PS : j'aurais parié sur J-P même avant de lire l'énigme : qui la vu se tromper une fois sur ce site ?

Pour information et comparaison, je suis né le 28 septembre 1987

++

c'est JP qui a raison, il faut 22 personnes pour avoir 50% de chances d'avoir deux personnes qui ont la même date d'anniversaire!
probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le mêm jour dans une assemblée de n personnes:
p(n) = 1 - (Arrangement de n sur 365) / 365^n

On souhaite p(n) >= 1/2
donc (1-1/365)(1-2/365)...(1-(n-1)/365)<= 1/2
donc (ln(1-k/365),k,0,n-1) <= -ln(2)
par un petit programme simple, on trouve n = 22

75% de chances pour n = 32
90% de chances pour n = 41
99% de chances pour n = 57

l'assemblée compte 60 personnes, il y a donc 99,41% de chances...

Nombre de cas possibles pour les 60 dates = 365⁶⁰
Nombre de cas où les dates sont différentes = A₃₆₅⁶⁰ (60 est l'indice supérieur et pas un exposant, je ne sais pas comment le faire )
                                         =

Donc, la probabilité que les 60 personnes aient des dates d'anniversaires différentes est A₃₆₅⁶⁰ /365⁶⁰ 0,006

Donc :

Comme ceci Pietro

(Merci Latex)

Bonjour,

Je vais calculer quelle est la probabilité, qu'aucune personne soit né le même jour, parmi les 60 présentes.

P=(365/365)*(364/365)*(363/365)...*(306/365)=0,005877339
on voit que CLEMCLEM a fort peu de chance de gagner, donc J-P a raison of course.

Bonjour.on arrive facilement avec les proba a demontrer que c'est J-p qui gagne.
en prennant l'evenement contraire c'est a dire que les 60 personnes sont toutes nées un jour different on obtient
1-365/365*364/365...........306/365 >50 % ( enverité beaucoup plus)

moi je dit que c'est clemclem qui a raison puisque c'est lui qui a fait l'énigme et s'il avait tord, il se serait pas fait miser 15 € dans son histoire...

si la réponse à l'énigme est : aucune des personnes n'est né le meme jour qu'une autre, alors il a eu raison de dire "clem clem mise 15€" comme ça il se voit gagnant... Quoi de mieux?

En revanche si la réponse de l'énigme est: 2 personnes sont nées le mm jour, alors dans sont histoire ca n'aurait pas été lui qui aurait relevé le pari, mais il aurait mis un autre personnage.

C'est ainsi que fonctionne l'être humain, et sans avoir résolu l'énigme mathématiquement, je suis persuadé que j'ai le bon résultat. J'ai décidé de la résoudre d'un point de vue psychologique pour changer.

voilà, en attendant les résultats.

Salut,

Alors du 1 au 31 il y'a 31 jours . j'y hote le 29 soit .
Pour que J-P gagne à coup sûr, il aurait fallu qu'il y ait 60 personnes dans la salle, or ironie du sort, il y'en a 60...
Notre pauvre J-P n'a donc que : de chance de gagner...
Par conséquent, malgré une audacieuse objection de ta part ClemClem, je crois que tu viens de perdre 15 euros.

Donc

Merci pour l'énigme, ciao

Je voulais juste faire remarquer une chose : qu'il y ait ou non une personne née le 29 ne change rien à la réponse puisque la question est "qui a le plus de chance de gagner". Or avec une pesonne née le 29 la probabilté reste grande pour que J-P gagne. Elle est d'environ 0.94 ...

Voila ciao

Bonjour !

J'ai trouvé que JP était presque sur de gagner ... à plus de 99 % !

Raisonnement :

On calcule la propabilité P qu'aucune personne ait son anniversaire le même jour; puis on soustrait à 1 :
1 - 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 × ... × 306/365

Il y a 365 possibilité de date d'anniversaire par personne; pour que le deuxième n'ait pas la même date que le premier, 364 possibilités,etc...
La probabilité pour que 60 personnes aient toutes des dates d'anniversaire différentes sera donc 365*364*...*306/365^60 soit environ 0,0059
JP a donc 99,4 % de chances de gagner son pari

Bonjour,

Un p'tit dessin valant mieux qu'un grand discours, ( et en supposant que je ne me sois pas planté ), voici la courbe donnant, en fonction du nombre N de personnes, la probabilité qu'au moins 2 personnes sur ces N soient nées un même jour_mois (hors année).

On s'aperçoit que dès 23 personnes, on a 50% de chance qu'il y ait "jumeaux_hors_année".
Dès 57 personnes, on a 99% de chance que celà se produise.

Pour la courbe jointe, faite avec Excel ( cher à  notre excelophile borneo ) :
B2 : N                        'Nombre de personnes
C2 : Jours                   'Nbre de jours
D2 : 1                        'Proba de l'évènement certain
E2 : 0                        'Proba de l'évènement impossible

B3 : 1                         'Valeur initiale de N
C3 : =366-B3               'Valeur du nombre de jours
D3 : =D2*C3/$C$3        'Proba de l'évènement contraire
E3 : =1-D3                  'Proba cherchée

Et copier/draguer ces quatre cellules B3...E3 sur 60 lignes : c'est tout !

La colonne E fournit la proba cherchée, pour N en colonne B.
Pour la courbe, choisir "Nuage de points reliés par une courbe lissée"
et relier la colonne E (pour Y) à la colonne B (pour X).

Des questions me viennent ( si d'aucuns ont des éléments de réponse, merci ) :
- Comment évolue cette courbe (et le raisonnement associé) lorsque l'on tient compte du 29 février (raisonnement sur 4 ans ?) ?
- Comment, avec une calculette ou excel par exemple, peut-on représenter une fonction de x qui s'exprime avec des factorielles fonction de x : y = 1 - 365!/[(365-x)!.(365^x)] ?
- En supposant (je crois que c'est vrai mais n'ai pas le net pour le vérifier à l'instant où j'écris ces lignes), que la courbe des naissances ne soit pas constante dans l'année (je crois que chez l'humain, hormis régulation totale des naissances, la période estivale de l'année n crée, sous nos latitudes, un pic de naissances en avril-mai de l'année n+1 ), quelle est l'incidence sur cette proba ?
Autrement dit, comment prendre en compte le fait que certains jour_mois, qui ont été considérés comme équiprobables dans le raisonnement précédent, puissent avoir un tirage préférentiel ? comment peut-on les pondérer ?
Intuitivement, je pense que cela renforce P(n), c'est-à-dire que la courbe rouge devrait être compressée vers la gauche et qu'il faudra moins de 57 personnes pour atteindre une proba de 99%, mais n'en suis pas certain et ne sais pas le (dé)montrer (ou son contraire)...

Merci à clemclem pour cette énigme riche de questions induites...

Philoux

Bonjour,

On prend une personne au hasard sur les 60.
La probabilité pour que personne ne soit né le même jour est
Sur les 59 personnes restantes, On prend une personne au hasard.
La probabilité pour que personne ne soit né le même jour est

et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste 2 personnes.La probabilité pour que personne ne soit née le même jour que l'avant dernière est .

Donc la probabilité pour qu'aucune des 60 personnes ne soit né le même jour qu'une autre est :
Or cette probabilité = .
59+58+...+1 est une somme arithmétique qui vaut 1770
LA probabilité est donc ce qui vaut environ 0,0078

Il y a donc 0,78% de chance pour qu'aucune des 60 personnes ne soit née le même jour qu'une autre c'est à dire 99,22 % pour que JP gagne son pari et que Clemclem perde...

On n'est pas sur du raisonnement donc on attend le verdict avec impatience...

On suppose que les naissances sont équiparties

la probabilité que l'évenement ne se produit pas, c'est à dire qu'aucun des plus gros posteurs de l'île ait le même anniversaire: nous obtenons 365 jours pour le premier, 364 pour le deuxième et ainsi de suite jusqu'au 60eme avec lequel nous obtenons 306 jours. Ce qui nous donne 365*364*363*...*306 cas favorables.

on a 365⁶⁰ cas possible (car 365 possiblités pour chacun d'entre eux)

La probabilité que leur anniversaires soient tous differents est donc:
(365*364*...*306)/(365⁶⁰)
ce qui donne environ: 0.005

Donc pour au moins un anniversaire on trouve environ 1- 0.005=0.995
soit environ 99% de chance!!!!

Dans le cas d'une nom equipartie, il est probable qu'il y ait encore plus de chance de succès.

Clemclem a donc le plus de chance de gagner ce pari

Clemclem a environ 99 % de chances de gagner son pari.

la probabilité que l'évènement ne se produise pas. C'est-à-dire la probabilité qu'aucun des plus gros posteurs de l'île ait le même anniversaire : nous obtenons 365 jours possibles pour le premier, 364 pour le deuxième et ainsi de suite nous obtenons 316 jours pour le 60 ième. Ce qui nous donne 365x364x363x... 306 cas favorables.
Il y a 365⁵⁰ cas possibles.
La probabilité que les anniversaires soient tous différents est donc :
( 365x364x363x... 306 ) / (365⁵⁰)
Ici cela donne environ : 0.005
Donc pour avoir au moins un anniversaire commun, on trouve environ 1 - 0.005 ~ 0.99
soit environ 99% de chance.Si je n'ai pas tors je conseillerais a J-P d'abandoner!

c'est JP qui gagne, car la proba pour que sur les 60, personne n'ait son anniversaire le même jour n'est que de 0.006


Quand il y a 2 personnes, la proba pour qu'elles n' aient pas le même anniversaire est de 364/365
s'il y en a 3, la proba pour qu'elles aient leur anniversaire un jour différent est de 364/365 fois 363/365
ect...
donc pour 60, on fait 364*363*362......60 divisé par 365 puissance 59
et on trouve 0.006 qui est la proba pour qu"aucune personne n'ait son anniversaire en même temps qu'une autre.

je crois qu'il veux pas dire par jour la date mais plutot le non dujour lundi mardi .....

Je pense que Tom_Pascal a raison. Pour etre sur que deux personnes soient nées le même jour il faudrait qu'il y ait 365+1 soit 366 personnnes (si on considerent que dans les 365, chaque personne est né un jour différent dons avec 366 on est sur qu'il y en a au moin 2 qui sont nés le même jour). Or la il ni a que 60 personnes donc 60*2=120, il y a donc moins d'une chance sur 2. non??

Bravo à tous,

Certains réponses se sont vues attribuées un poisson car la justifiquation n'était pas bonne (notamment de bêtes erreurs d'indices)

A plus

Ok clemclem

Par contre, quel seraient les résultats si on tenait compte du 29 février ?

Merci

Philoux

A mon avis les choses se complique légèrement car le 29 février n'a pas la même chance que les autres jours d'être une date d'annéiversaire...

Cela reste une énigme

A plus

Ok,

Si d'autres ont une résolution...
Ainsi que des questions en suspend dans mon post

Merci

Philoux

>>philoux

Eh bien on aurait pris 366 et non 365. Donc on aurait multiplié le numérateur par 366. Essaye

je vais créer le topic comme prévu

Re,

Je pense qu'au lieu de mettre sur 365, on devrait mettre sur 365.25.

Qu'en penses-tu philoux?

A plus

infophile,

en tenant compte du 29 février on ne se retrouve plus dans une situation q'équiprobabilité.

A plus

>>clemclem

Oui tu as raison

Mais pour le 365.25 je ne suis pas d'accord car c'est les cas possibles or on ne peut pas considéréer être né le 365.25 eme jour, du moins je crois

mince j'ai pris pour "jours " les 1 au 31 et pas les 365 ....
tant pis !
Allez ciao a +

Bonjour,

infophile sur 4 ans :
Toutes les jours de l'année (sauf le 29 février) ont 4 chances sur 4 d'appaître.
Par contre le 29 février à une chance sur 4.

D'où le 0.25

A plus
_{Je ne suis pas sûr de mon raisonnement à 100%}

Je repose la question noyée dans mon post de 11:33 :

- Comment, avec une calculette ou excel par exemple, peut-on représenter une fonction de x qui s'exprime avec des factorielles fonction de x : y = 1 - 365!/[(365-x)!.(365^x)] ?

Sinon, clemclem, ce n'est pas une erreur d'indice, c'est uniquement l'application numérique qui sent le

Philoux

Bonjour,

philoux je te renvois à cette page internet :

A plus

Ben oui, je l'ai calculé avec excel... vous ne voulez tout de même pas que je calcule 365 puissance 59 à la main, tout de même !!! Et je n'ai pas de calculette, juste un convertisseur à euros

>>borneo

Moi j'ai tapé à la calculette:

365*364*363*... etc

J'ai du mettre 5 minutes

Merci clemclem pour excel

Maintenant, sur d'autres calculettes programmables qui ne possèdent cette fonction pré-programmée, peut-on l'obtenir avec des fonctions "usuelles" ?

Philoux

Bonjour philoux,

Je trouve ce programme sur internet :

N'y connaissant pas grand chose je ne peux pas te dire ce que cela vaut.

A plus

Bonjour philoux, pour celà il suffit de définir la factorielle:
0!=1
n!=(n-1)!*n

Ce que tu veux calculer n'est autre que p!/q!

Ca se fait très bien avec n'importe quelle calculette programmable.
A+