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Posté par
lake
re : Appel à collaboration ! 03-12-21 à 21:19

Bonsoir loeiz35,

Citation :
Pour que  \tan\,\varphi soit égal à cette constante,   \dfrac{b}{a}, pour tout x réel, il faut et il suffit que les polynômes
   {x^2+2ax+4a^2}  {et~} { x^2+\dfrac{5a^2-b^2}{a} x+4a^2} soient égaux, ce qui est équivalent à  {5a^2-b^2=2a^2} , ou encore  b=a\,\sqrt{3}.

C'est exactement ce que j'ai fait à ceci près que j'ai remplacé :

Citation :
Pour que  \tan\,\varphi soit égal à cette constante,   \dfrac{b}{a}, pour tout x réel,...


par : pour que \tan\,\varphi soit indépendant de x,  il faut et il suffit que les deux polynômes que tu cites soient "proportionnels". Ce qui donne bien le résultat a=b\sqrt{3}  et \varphi=\dfrac{\pi}{3}\,\,[\pi]

Citation :
si le triangle ABC n'est plus équilatéral mais seulement isocèle, l'angle des droites (CM, CP) n'est plus constant car  \tan\,\varphi est, dans ce cas, fonction non constante de x .


Tout à fait. Dans ce cas, il reste que l'enveloppe des droites (M'P') est bel et bien un cercle et que la fin de la question 3) est identique à celle du sujet de 1964.
Pour l'instant, je n'ai pas de réponse synthétique à cette histoire d'enveloppe (et je n'ai pas encore eu le courage de m'attaquer à une solution analytique).

Posté par
loeiz35
re : Appel à collaboration ! 03-12-21 à 22:38

Bonsoir lake,

Je n'ai pas utilisé la proportionnalité des polynômes car j'obtenais une équation du 3eme degré pour le calcul de b.
En effet la relation
 \dfrac{b}{a}= \dfrac{2a}{5a^2-b^2} est équivalente à   -b^3+5a^2 b-2a^2=0 .

A propos de ta question sur l'enveloppe des droites, j'hésite aussi à  me lancer dans une méthode analytique. Ce n'était d'ailleurs pas conseillé à  l'époque.

Posté par
lake
re : Appel à collaboration ! 03-12-21 à 22:53

Quand je parlais de "proportionnalité" de polynômes, il s'agissait des deux polynômes du second degré :

x^2+2ax+4a^2 et ax^2+(5a^2-b^2)x+4a^3

qui donne immédiatement 5a^2-b^2=2a^2 soit b=a\sqrt{3}.

Effectivement, la question de l'enveloppe des droites (M'P') lorsque ABC est seulement isocèle en C est un peu piquante
Avec un peu (beaucoup) de chance, un intervenant nous donnera une belle solution synthétique

Posté par
lake
re : Appel à collaboration ! 04-12-21 à 13:40

Je viens de voir ceci :

  

Citation :
Je n'ai pas utilisé la proportionnalité des polynômes car j'obtenais une équation du 3eme degré pour le calcul de b.
En effet la relation
 \dfrac{b}{a}= \dfrac{2a}{5a^2-b^2} est équivalente à   -b^3+5a^2 b-2a^2=0 .


Une erreur : \dfrac{{\red \cancel{b}}1}{a}=\dfrac{2a}{5a^2-b^2}

... qui donne bien le résultat

Posté par
loeiz35
re : Appel à collaboration ! 04-12-21 à 14:06

Bonjour lake,
Effectivement, on obtient à partir de
\tan\,\varphi=\dfrac{b(x^2+2ax+4a^2)}{ax^2+(5a^2-b^2)\,x+4a^3} et en utilisant la proportionnalité des polynômes : \dfrac{b}{a}=\dfrac{2ab}{5a^2-b^2} , ce qui revient au même en simplifiant par b.
Je doute quand même que les élèves de terminales actuels ou de 1964) aient le réflexe d'utiliser la proportionnalité de ces 2 polynômes.
Par contre une méthode basée sur 2 valeurs particulières (x=0 et x=1 par exemple) leur semblerait sans doute plus abordable et éviterait le calcul compliqué de la dérivée.

Posté par
lake
re : Appel à collaboration ! 04-12-21 à 15:43

Bonjour loeiz35,

J'estime ton âge aux alentours de 75 ans. En 1964, je n'avais que 8 ans et j'étais bien loin des sujets de BAC de l'époque.

Citation :
Je doute quand même que les élèves de terminales actuels ou de 1964) aient le réflexe d'utiliser la proportionnalité de ces 2 polynômes.


Commençons par les élèves de terminale actuels et ce qui se passerait en amont :

Dès la première question, on leur parle de mesure algébrique de distance sur un axe orienté. Pour eux, c'est mort (à moins qu'un élève très doué fasse le lien avec la notion de vecteurs). Je n'y crois pas trop ...
La seconde question : on parle d'angles orientés de droites qui ne sont pas au programme. Ils ont déjà beaucoup de mal avec les angles orientés de vecteurs. C'est doublement mort.

Tout ça pour dire qu'aucun élève de terminale de 2021 n'est capable d'établir la  relation :

  \tan\,\varphi=\dfrac{b(x^2+2ax+4a^2)}{ax^2+(5a^2-b^2)\,x+4a^3}

Revenons en 1964 : ce n'est que mon avis ; je pense que tu sous-estimes les élèves de l'époque.

Posté par
loeiz35
re : Appel à collaboration ! 04-12-21 à 16:14

Bonjour lake,

A propos des élèves de terminale, je visais la méthode utilisant la proportionnalité des polynômes.En supposant évidemment qu'on leur donne cette expression  puisque le reste n'est plus au programme.
Je ne pense pas sous- estimer les élèves de 1964. Certes je n'avais pas encore côtoyer les élèves des grands lycées.
Dans mon lycée  nous étions 7 reçus sur 23 en math elem, donc 30% .
J'ai eu 9/20 en math  au bac. (2e note de la classe). Actuellement ce lycée  affiche plus de 95% de reçus.
Finalement je ne sais pas trop quoi en déduire. Le 1er en math de cette classe a eu 4/20 avec ce même sujet ...et a bien réussi en classes prépas ( Ecole centrale de Lyon).
Personnellement j'ai obtenu ma maîtrise de math en 4 ans (en 68 donc).
Les sujets de l'époque étaient difficiles car il n'y avait pas beaucoup de points de repère ... et pas de calculatrice pour vérifier.
J'avais  juste envie d'échanger un peu avec les intervenants de ce forum.
A bientôt.

Posté par
lake
re : Appel à collaboration ! 31-01-22 à 14:18

Bonjour,

  J'ai commis une erreur sur une conjecture ici :

  

Citation :
Citation :
si le triangle ABC n'est plus équilatéral mais seulement isocèle, l'angle des droites (CM, CP) n'est plus constant car  \tan\,\varphi est, dans ce cas, fonction non constante de x .


Tout à fait. Dans ce cas, il reste que l'enveloppe des droites (M'P') est bel et bien un cercle et que la fin de la question 3) est identique à celle du sujet de 1964.


Pas du tout; je me suis trompé : c'est une ellipse. Tout à fait inutile pour la suite où le lieu du centre du cercle \Gamma
 \\ est cependant encore une hyperbole (j'ai soigneusement vérifié ).

Je ne sais toujours pas le montrer.

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