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Niveau sixième
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Appel aux géomètres

Posté par
septante-deux
04-02-13 à 13:58

Qui pourrait m'aider à résoudre le problème suivant?  Un rectangle de 736 cm² est partagé par 2 traits en 4 rectangles (cf. figure) dont les dimensions (en cm) sont des nombres entiers. Un de ces rectangles a une aire de 525 cm² et le plus petit a une aire comprise entre 15 et 25 cm². Quel est le périmètre (en cm) du quadrilatère en gris sur la figure) formé en joignant les 4 points d'intersection des 2 traits et du rectangle ?

Merci d'avance pour ce que vous m'écrirez.

Appel aux géomètres

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 14:39

Bonjour,

un bon gros paquet d'essais ...

toutes les façons de faire un rectangle d'aire 736cm² :
1x736
2x368
4x184
8x92
16x46
23x32

toutes les façons de faire un rectangle de 525 cm²
1x525
3x175
5x105
7x75
15x35
21x25

il n'y a plus qu'à essayer toutes les combinaisons de dimensions du rectangle total capables de contenir un des rectangles de 525 cm²
et de voir si le plus petit rectangle a alors une aire entre 15 et 25cm²

ce qui donnera les dimensions de tout ça.
combien de solutions ????

ensuite ce sera Pythagore pour calculer les diagonales et donc le périmètre grisé.

Mais Pythagore, en 6ème ??????

Posté par
plvmpt
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 14:48

salut mathafou,

septante-deux ne doit pas etudier en france,

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 14:52

Bonjour plvmpt,

c'est vrai qu'avec ce pseudo là on pouvait s'en douter

Posté par
septante-deux
Appel aux géomètres 04-02-13 à 15:39

Merci mathafou  mais cette façon de procéder n'est certainement pas celle qu'attendent les examinateurs.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 15:43

Désolé mais je n'en vois pas d'autre (il n'y en a sans doute pas d'autre),
surtout que le résultat est horrible : une somme moche de racines carrées irréductibles
le problème n'a aucun rapport avec la géométrie (à part Pythagore) mais avec l'arithmétique : nombres entiers

Posté par
mijo
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 16:46

Bonjour à tous
Voici une solution possible

Appel aux géomètres

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 16:56

ce n'est pas "une" solution c'est la seule...

Preuve comme j'ai indiqué.
Il n'y a en fait de 4 cas à examiner sérieusement
et sur ces 4 cas, un seul a l'aire du "plus petit" rectangle > 15
(>25 ça n'existe pas)

Posté par
mijo
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 17:04

Bonjour  mathafou
Si tu le dis c'est que c'est vrai, je te fais confiance,  je n'ai pas cherché plus avant

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 17:17

il n'y a pas beaucoup à chercher ...
le plus dur c'est de trouver les dimensions entières des rectangles d'aires 736 et 525
c'est à dire de trouver tous les diviseurs de ces nombres
ce que j'ai donné dans mon 1er post.

ensuite c'est du bon sens pour éliminer la plupart d'entre eux et ne garder que les 4 candidats plausibles
4 candidats pour lesquels on calcule l'aire du plus petit rectangle
et hop fini

Il reste que la question est le périmètre du quadrilatère "grisé" et que avec des trucs comme 5674 = (2×2837) où 2837 est un nombre premier, il n'y aura à la fin qu'une valeur approchée (disons à la précision qu'on veut) à moins de laisser tels quels ces 5674 et consorts.

Posté par
septante-deux
Appel aux géomètres 04-02-13 à 17:44

Le corrigé propose 5 solutions. Au lecteur à choisir la bonne. Ces 5 solutions sont, en cm: 87,15
            102,74
            142,86
            163,64
            185,75

Voilà, je n'en sais pas plus.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 18:50

Tu fais le calcul avec la figure de Mijo... et Pythagore pour calculer les diagonales.

Oui. l'une des valeurs est la bonne.

Posté par
septante-deux
Appel aux géomètres. 04-02-13 à 19:22


Merci mathafou,

Oui, je l'avais déjà fait et j'arrive à un résultat approchant de très près la 5ème solution.

Un grand merci à vous deux.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Appel aux géomètres 04-02-13 à 19:26

voila.

moi je trouve
sqrt(5674) + sqrt(5626) + sqrt(290) + 13 sqrt(2) 185.746787
ce qui arrondi à deux chiffres après la virgule donne bien le 185.75

Posté par
septante-deux
Appel aux géomètres. 04-02-13 à 19:39

Merci mathafou,

C'est encore mieux que moi.

Encore merci.



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