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Niveau Maths sup
Application
Posté par jotaro
Soit X un ensemble. On appelle involution de X une applicationf de X dans X telle que fof =Id
Autrement dit,f est une involution de X si et seulement si: V x€ X.f(x))= x
Partie A
a) Montrer que l'application x dans 1-x est un involution de R
b) Montrer que l'application (x,y) dans (y,x) est une involution de RxR
2) Montrer que si f est une involution de X alors f est bijective et préciser f^-1
Soit X un ensemble et f une application de X dans X. Un point fixe de f est un élement x de X vérifiant f(x )=x
Par exemple, 1/2 est un point fixe de x dans 1-x. On se propose d'établir, par recurrence forte, le résultat suivant : Pn: "Le nombre de points fixes d'une involution d'un ensemble X à n elements a la même parité que n"
3 a) Montrer que Po est vraie
Soit n € N.On suppose que Pk est vraie pour tout entier k vérifiant 0 <k<n
b) Soit X un ensemble à n+1 éléments, f une involution de X et x un élément de X. i) Montrer que si f(x)=x alors la restriction de f à X-{x}est une involution de X-{x}. Conclure
ii) Montrer que si f(x)#x alors la restriction de f à X-{x,f(x)} est une involution de E-{x,f(x)}. Conclure
4) Soit X un ensemble fini. On suppose qu'il existe une involution f de X possédant un unique point fixe. Montrer que toute involution g de X admet au moins un point fixe.
Je galère complètement à la question 2 et après
qui plus est, je vois mal à quoi correspond P0
pas d'involution de 
dans
ou une avec la convention 00=1 ?
pas de point fixe ?
tout ça est un peu capilotracté
je pense que la récurrence commence à n=1
et pour la récurrence forte, vu l'énoncé, c'est
"on suppose que ..." pour tout k 
n et pas k<n
Bonjour pardon de mon impolitesse
Je pensais que Po je pensais que quand n vaut 0 et bien l'ensemble à 0 éléments est donc pair mais je vous avoue ne pas avoir très bien compris l'énoncé
Désolé je ne savais pas comment mettre les puissance ou ce genre de chose, dite moi ou vous ne comprenez pas svp
Citation :
a) Montrer que l'application x dans 1-x est un involution de R
b) Montrer que l'application (x,y) dans (y,x) est une involution de RxR
ne veut strictement rien dire ...a) Montrer que l'application x dans 1-x est un involution de R
b) Montrer que l'application (x,y) dans (y,x) est une involution de RxR
carpediem @ 14-10-2019 à 13:01
Citation :
a) Montrer que l'application x dans 1-x est un involution de R
b) Montrer que l'application (x,y) dans (y,x) est une involution de RxR
ne veut strictement rien dire ...a) Montrer que l'application x dans 1-x est un involution de R
b) Montrer que l'application (x,y) dans (y,x) est une involution de RxR
x->1-x
(x,y)->(y,x)
matheuxmatou @ 14-10-2019 à 18:48
et la question 2 est d'une évidence quasi triviale ... non ?
et la question 2 est d'une évidence quasi triviale ... non ?
Je l'ai faite,
Bijective car fof = Id
f-1 =f
Je ne sais pas si la justification est bonne
Pour la question 3b i)
J'ai dis étant donné que l'ensemble X a n+1 élement alors l'ensemble X-{x} aura n élement, mais je ne comprend pas la notion de restriction de f à X-{x}
carpediem @ 14-10-2019 à 19:27
la justification est la définition (d'une bijection) ...
la justification est la définition (d'une bijection) ...
D'accord je me dis aussi vu que la bijection c'est fof-1= Id
carpediem @ 14-10-2019 à 20:05
ça ne veut rien dire ...
ça ne veut rien dire ...
Si c'est pour la 3b i) je ne vois pas alors comment procéder
Étant donné que j'ai assez mal rédiger l'énoncé voici une photo pour
* Sylvieg > scan de devoir non autorisé ! *
* Sylvieg > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques 
*
Bonjour,
Je suppose que, dans l'énoncé de 3), c'est :
On suppose que Pk est vraie pour tout entier k vérifiant 0 k n.
Je note (1) : Pk est vraie pour tout entier k vérifiant 0 k n.
En fait, désigner par x l'élément qu'on met à part est maladroit.
Tant pis, on fait avec.
L'application f est une involution de X, donc 
a
X f(f(a)) = a .
D'où aX-{x} f(f(a)) = a .
La restriction de f à X-{x} est donc une involution de X-{x}.
Le nombre d'éléments de X-{x} est n ; donc, d'après (1), Pn est vraie.
A toi de terminer la question i), puis d'attaquer la question ii).