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Application à la dérivation

Posté par
Tilton71
15-04-18 à 18:48

On considère une boite de conserve classique de forme cylindrique. Pour un volume V donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour confectionner cette boîte. On note r le rayon de la base et h la hauteur.
1. Démontrer que la surface de métal utilisé est :
S(r) = 2π r²+\frac{2V}{r}
2. Etudier la fonction S sur son ensemble de définition, que l'on précisera. Pour cela, on étudiera la dérivabilité, puis on calculera la dérivée de la fonction S.
3.En déduire les dimensions de la boîte répondant au problème.
4. Si on suppose que cette boîte de conserve a une contenance de 1L, quelle doivent être au millimètre près, les dimensions de cette boîte (rayon de la base et hauteur) pour que la quantité de métal utilisée soit minimale. (La quantité de métal est supposée proportionnelle à l'aire totale du cylindre).

Ce que j'ai fait :
1. J'ai réussi à le prouver

2. S est définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+\infty[ car c'est un quotient.
S'(r)=\frac{4\Pi r^3-2V}{r^2}

Voilà, après je sais qu'il faut faire un tableau de signe puis de variation pour trouver le minimum mais je n'arrive pas à le faire...

Posté par
carita
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:04

bonsoir

tes réponses sont exactes.

pour étudier le signe de S '(r),
résoudre  S'(r) = 0  , ou bien  S'(r)   0

puis, du signe de S ', tu en déduis la variation de S, puis l'extremum.

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:05

Bonsoir,

Le signe de la dérivée (qui a été correctement calculée) va naturellement dépendre de V. Il n'y a normalement aucune difficulté. Qu'est-ce qui vous bloque concrètement ?

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:17

Merci Carita !
Jezebeth, ce qui me bloque est le nombre de lettres, je n'arrive à faire le tableau :
J'ai fais ce tableau :

x0                                                                                                                                                                                 +\infty
4\Pi r^3-2V
Signe de S'(r)
Variations de S(r)

Le problème c'est que je n'arrive pas à remplir les autres cases. Pourtant je sais le faire mais avec cette fonction je n'y arrive pas...

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:19

Quel est le signe de r^2 ?

Ensuite, résoudre 4\pi r^3-2V\geq 0.

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:24

Oui j'avais oublié de noté le signe de r².
Mais je ne sais pas qu'elle lettre isolée dans 4\Pi r^3-2V\geq 0. Je pense que c'est le r ?

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:26

Dans l'énoncé il est écrit "pour un volume V donné", ça ne laisse donc pas place à l'hésitation !

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:29

Je dois donc isoler le r puisque V est donné, donc r est la seule inconnue !

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:29

Oui

Posté par
carita
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 19:53

Tilton71
juste une petite remarque  : "Mais je ne sais pas quelle lettre isoler "

la fonction est définie pas S(r)=... ---- r est la variable, et Ds = ]0;+oo[
et d'ailleurs, quand tu as dérivé, tu as bien dérivé par rapport à r.
et donc pour étudier le signe de la dérivée, c'est bien r que tu dois "isoler".

je te laisse poursuivre en bonne compagnie de Jezebeth
bonne soirée à vous deux !

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 20:05

Encore merci Carita !
Dans l'inéquation je me trouve à ce point là :
r^3\geq \frac{2V}{4\pi}
Je ne sais pas comment faire pour faire disparaître le cube. Pouvez-vous m'aider ?

Posté par
carita
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 21:03

déjà, tu peux simplifier 2/4.

ensuite
si tu avais x² = 16, tu prendrais la racine carrée :     x = (16) = 4

pour x³ = 8, on prend la racine cubique :     x = \sqrt[3]{8} = 2

note : la racine cubique peut se noter "puissance 1/3" : 8^{\frac{1}{3}} = 2

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 15-04-18 à 21:12

Sachant qu'ici on a une inéquation. Si vous ne l'avez pas déjà fait plusieurs fois, je vous invite à étudier dans un coin à côté la fonction cube.

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 16-04-18 à 11:56

Bonjour,  merci vos réponses mais le problème, c'est qu'on a pas encore étudié la fonction cubique. Il y a-t-il une autre méthode ?

Posté par
carita
re : Application à la dérivation 16-04-18 à 12:25

si!si! tu as déjà étudié la fonction "cube":  f(x) = x³
elle fait partie des fonctions de référence étudiées en seconde, avec la fonction carrée, inverse, valeur absolue, et racine carrée.

et non, il n'y a pas d'autre moyen.

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 16-04-18 à 12:27

Ce que je voulais dire, c'est qu'on a pas appris à l'isoler lorsqu'on la passe de l'autre côté. Mais je pense avoir trouvée une solution, je vous redis quand j'ai réussi.

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 16-04-18 à 15:29

Étudier la fonction cube ne sert à rien si vous ne voyez pas pourquoi on fait ça effectivement. Réfléchissez-y avant de le faire. Quel résultat veut-on obtenir ?

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 14:09

Voilà je pense avoir réussi :
Pour un volume V donné, je choisis V=20cm3
r3\geq\frac{20}{2\Pi}
r3\geq\frac{10}{\Pi}
r\geq\sqrt[3]{\frac{10}{\Pi}}

Ainsi on peut faire le tableau de variations :

r0                                                                                                                                                                               +\infty
4\Pi r^3-2V                                                  -                                        |                                                      +
r2||                                                                                          +
S'(r)||                                                -                                        |                                                      +
S(r)||                                           Flèche décroissante  |          Flèche croissante


3) Il faut donc pour un volume V de 20cm3, le rayon de la base est de \sqrt[3]{\frac{10}{\Pi}}cm et la hauteur est de \frac{20}{\Pi * \sqrt[3]{\frac{10}{\Pi}}}cm. Soit r\approx1.47cm et h\approx4.33cm.

Je ne sais pas si il faudrait plutôt que je refasse avec V et non 20 ?

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 14:23

Oui, ça ne va pas, le volume V est quelconque dans l'étude... étude qui doit justement vous permettre de trouver un volume minimal (c'est l'extremum global de votre fonction).

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 14:25

Et je pense qu'à ce niveau il serait bon de justifier a^3\geq b\Leftrightarrow a\geq \sqrt[3]{b}.

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 14:49

Ok merci je prend note. Sinon le reste est-il juste ?

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 14:56

NB : J'ai dit une bêtise plus haut, c'est bien sûr le rayon minimal que vous allez trouver. Et il doit dépendre de V !

C'est incorrect, dans la question 3, c'est pareil, on ne demande pas de valeur pour le volume, il est toujours donné. Jusqu'à la question 4 où on prend une valeur particulière, V n'est pas remplacé par un nombre. Il faut donc que vous fassiez votre tableau avec la lettre V et aucune valeur numérique. On vous demande la valeur minimale de r (et vous en déduisez h) et tout cela dépend de V.

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 15:30

Oui, le rayon minimal est : \sqrt[3]{\frac{V}{2\Pi}}cm.
La hauteur est donc : h=\frac{V}{\Pi*\sqrt[3]{\frac{V}{2\Pi}}}
C'est pour ces dimensions que la quantité de métal est minimisé ?

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 16:34

Oui. Pourquoi ?

(L'expression de h se simplifie un peu quand même)

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 17:23

C'était juste pour être sûr.
Mais je ne vois pas comment simplifier l'expression de h...

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 18:02

Quand je demande pourquoi, je vous demande la raison profonde de ce résultat, pour que l'on puisse savoir si vous avez compris ! Pourquoi est-ce pour ces dimensions que la quantité de métal est minimisée ?

carita @ 15-04-2018 à 21:03

note : la racine cubique peut se noter "puissance 1/3" : 8^{\frac{1}{3}} = 2


Les propriétés opératoires sur les puissances étant les mêmes que pour les entiers.

Posté par
Tilton71
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 18:27

Ah oui j'y avais pensé mais c'est hors programme pour moi donc je pense y laisser comme ça.
Au final, j'ai réussis à finir mon exercice, merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Jezebeth
re : Application à la dérivation 17-04-18 à 18:32

C'est quand même dommage parce que ça vous oblige à écrire deux fois le même nombre à des puissances différentes pour l'application numérique.

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