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Application à la physique

Posté par Profil Ramanujan 18-05-19 à 12:33

Bonjour,

On a l'équation différentielle suivante :

y''+2 \lambda y'+w_0 ^2 y =0

Où \lambda \geq 0 , w_0 >0 et \lambda < w_0.

Je cherche à la résoudre et à montrer que \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y(x)=0 d'autant plus vite que \lambda est grand.

J'ai écrit l'équation caractéristique :

r^2 + 2 \lambda r + w_0 ^2=0

On a : \Delta = 4 \lambda ^2 - 4w_0 ^2 = 4(\lambda^2 -w_0 ^2) >0 car \lambda ^2 < w_0 ^2

Je ne comprends pas car dans mon livre on dit : "l'équation caractéristique admet 2 racines non réelles distinctes."

Posté par
XZ19re : Application à la physique 18-05-19 à 12:40

Bonjour
Je crois qu'il faut savoir que a<b  ssi  b-a>0.

Posté par
Pirhore : Application à la physique 18-05-19 à 12:54

Bonjour,

On a : \Delta = 4 \lambda ^2 - 4w_0 ^2 = 4(\lambda^2 -w_0 ^2)\textcolor{red}{ >0}~~~ car \textcolor{red}{\lambda ^2 < w_0 ^2}

Posté par Profil Ramanujanre : Application à la physique 18-05-19 à 13:04

Ah d'accord merci !

Ca me donne : r = \dfrac{-2 \lambda \pm i \sqrt{-\Delta}}{2} = - \lambda \pm \sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2}

Les solutions sont donc les fonctions :

y : \R \longrightarrow \R \\ x \mapsto e^{- \lambda x} ( A \cos(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2} ) + B \sin(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2} ))   où (A,B) \in \R^2

Pour la limite de x \mapsto y(x) en + \infty il faut utiliser le théorème des gendarmes ?

Posté par
malou Webmasterre : Application à la physique 18-05-19 à 13:36

ben pas besoin...y a rien d'indéterminé là dedans....sauf si vaut 0

Posté par Profil Ramanujanre : Application à la physique 18-05-19 à 13:39

@Malou

Je corrige j'ai oublié un x dans les cos et sin, le résultat est :

y : \R \longrightarrow \R \\ x \mapsto e^{- \lambda x} ( A \cos(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2} x) + B \sin(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2}x ))   où (A,B) \in \R^2

Posté par Profil Ramanujanre : Application à la physique 18-05-19 à 18:47

Du coup pour déterminer la limite, il faut encadrer :

A \cos(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2} x) + B \sin(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2}x ) ?

Posté par
verdurinre : Application à la physique 18-05-19 à 20:13

Bonsoir,
il suffit de montrer que  A \cos(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2}\, x) + B \sin(\sqrt{w_0 ^2 - \lambda ^2}\,x ) est borné.
Ce qui est évident.

Sinon un petit rappel de trigonométrie :

\forall (A,B,\omega)\in\R^3\ \exists \varphi \in\R\quad \forall t\in\R\ A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)=\sqrt{A^2+B^2}\,\cos(\omega t+\varphi)

Posté par
lafol Moderateurre : Application à la physique 18-05-19 à 22:58

Bonsoir
c'est d'un lourdaud, d'utiliser le discriminant ici :

Citation :
J'ai écrit l'équation caractéristique :

r^2 + 2 \lambda r + w_0 ^2=0


alors que clairement ça s'écrit (r + \lambda)^2 = \lambda^2-w_0^2=(i\sqrt{w_0^2-\lambda^2})^2

Posté par Profil Ramanujanre : Application à la physique 19-05-19 à 20:10

Ok merci pour vos réponses j'ai compris.


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