soit f une application
pour tout reel x   f(x)=ax+b
f(x)=ax+f(0)

soit g(x) =ax c'est une apllication vectorielle de R ds R

donc il existe x0R et g vectorielle
telle xR
f(x)=f(0)+g(x)
donc f est affine

Les applications affines ne sont pas définies que de R dans R, mais l'idée se généralise à R^n en fait en mettant tout en notation vectoriel.
A+

pardon, j'ai oublié de le préciser dans mon message, mais en fait, je parlais des applications affines du plan dans lui même ... c'est pour cela que je parlais de la conservation des milieux...

Il me semble qu'une application est affine si et seulement si elle conserve les barycentres (vieux souvenirs à confirmer).
Notamment un milieu est un barycentre, non?

tout à fait, tu peux montrer qu'elle conserve les barycentres, ou encore que l'application linéaire associée est linéaire. Et c'est justement pour montrer que cette application vectorielle est bien définie que j'ai un problème ....

Quel est l'énoncé exact?

c'est pas un énoncé... j'ai besoin de savoir comment justifier qu'une application  vectorielle est bien définie. Logiquement, il suffit de montrer que les images ne dépendent pas des bipoints mais seulement des vecteurs.
Mais finalement, je pense que ça se montre facilement lorsque l'on connait l'application vectorielle en question.
Je pense pas qu'il y ait de méthode générale ...

Je ne sais pas vraiment ce que tu appelles être bien défini dans ce cas précis:
Tu as probablement construit ton espace affine par un quotient.
A partir de là, être bien défini c'est simplement dire que l'image de ta fonction dans ton espace quotient, ne dépend pas du représentant choisi.
Est ce bien ceci?
Si tel est le cas, il n'y a pas de méthode général à ma connaissance.

je pense que c'est a peu près ca ... même si c'est encore confus.
je vais essayer d'approfondir...
Merci !