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Application Affines Exercice
Bonjour, je suis en Licence 2 de mathématiques, et découvre la géométrie. Notre professeur avance très vite et j'ai encore du mal avec certaines notions. Pourriez vous m'aider pour la résolution de l'exercice suivant :
On suppose que E est de dimension 3 et qu'il est rapporté à un repère cartésien (O, vect(e1), vect(e2), vect(e3)). On considère l'application f de E dans E définie analytiquement par :
x' = x + 6y +3z + 12
y' = -3x -8y -3z - 15
z' = 6x + 12y + 4z + 18
(a) Montrer que f est une transformation affine de E et préciser son application vectorielle associée f flèche.
Déterminer l'application réciproque de f.
(b) Déterminer l'ensemble Inv(f) des points fixes de f.
(c) Déterminer les sous-espaces propres de f flèche.
(d) Soit P le plan d'équation x + 2y + z = 0. Démontrer que tout plan parallèle à P est globalement invariant par f. Quelle est la restriction de f à un tel plan ? En déduire la nature géométrique de f.
Merci beaucoup.
Bonjour,
a) Quelle est pour toi la définition d'une transformation affine ?
(et la réponse à la question sera alors très simple à trouver)
b) Qu'est-ce qu'un point fixe ?
Justement, je n'ai pas trouvé de définition dans mon cours...
Je l'ai mise sous forme matricielle, est-ce suffisant ?
Du coup j'obtiens la matrice [f flèche] dans la base (vect(e1),vect(e2),vect(e3)).
Mais je ne sais pas comment trouver f fleche, l'exprimer comme une fonction...
De même je ne sais pas non plus comment exprimer f autrement que sous forme matricielle.
Auriez vous des conseils ?
Merci
Je l'ai mise sous forme matricielle, est-ce suffisant ?
Plus précisément, une fonction affine est de la forme f(X) = AX +B
X un vecteur et A une matrice 3x3 et B un vecteur un donc montre que l'on a bien cette forme là. (c'est la même définition que quand tu as appris les équations de droites au collège mais c'est dans un espace de dimension 3)
un point fixe est tel que f(X) = X (il ne bouge pas dans la transformation)
Tout cela tu l'as en quelques secondes sur internet.
D'accord, merci, mais comment trouver f flèche et la réciproque de f ? Car j'ai déjà montré que f était bijective, mais je ne sais pas comment trouver ni f fleche ni f-1
Est-ce que f flèche (vect(x), vect(y), vect(z)) = (vect(x'), vect(y'), vect(z')) tq
vect(x') = vect(x) + 6* vect(y) + 3* vect(z)
vect(y') = -3 * vect(x) - 8* vect(y) - 3* vect(z)
vect(z') = 6*vect(x) + 12* vect(y) + 6* vect(z)
salut
sans même passer par des matrices ou quoi que ce soit
l'application f de E dans E définie analytiquement par :
x' = x + 6y +3z + 12
y' = -3x -8y -3z - 15
z' = 6x + 12y + 4z + 18
ben si c'est pas une application affine quoi t-est-ce que ça peut être d'autre (quand on sait ce que signifie l'expression application affine) ?
ensuite utiliser l'écriture matricielle pour résoudre ce pb ... est un autre pb ... ou non !!!
puisqu'on sait depuis le lycée que les coordonnées (x, y, z) du point M dans le repère (O, i, j, k) sont les coordonnées (x, y, z) du vecteur OM dans la base (i, j, k) ...
En résolvant f(x,y,z) = (x,y,z), j'ai réussi a trouver Inv f. Merci
Bonjour,
J'avais préparé un joli dessin au début de ce topic. Je crois bien que je n'aurai pas l'occasion de le poster... 
Merci de vos réponses.
pour Inv(f) j'ai {(x,-x-1,2x-2), x dans E}
J'ai également réussi à trouver la réciproque de f.
Mais en ce qui concerne l'application vectorielle associée à f, c'est à cela que j'ai mis des vecteur. Mais je suis loin d'être certaine de ma réponse...
Bonjour,
pour Inv(f) j'ai {(x,-x-1,2x-2), x dans
Oui, mais on fait tout de même de la géométrie; quel est cet ensemble ?
Pour la suite des évènements, il est peut-être plus judicieux de le présenter sous la forme:
Tu en es là:
(c) Déterminer les sous-espaces propres de f flèche.
Il faut déterminer les valeurs propres et les sous espaces associés.
- L'un sera de dimension 1: une droite vectorielle.
- L'autre de dimension 2: un plan vectoriel.
Tu peux commencer par les valeurs propres
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