Bonjour,

J'ai un DNS à rendre la semaine prochaine mais j'ai beaucoup de mal avec les applications d'ensemble, c'est pourquoi j'aurais besoin de votre aide. On considère un ensemble E non vide et A et B deux parties de E. Soit f l'application de P(E) dans P(E) telle que f(X)=(XA)B.

1) Soient X et Y deux parties de E. Montrer que : XY XY=X YY=Y
Fait

2) Déterminer f(), f(A), f(B) et f(E).
Fait

3) Montrer que AB si et seulement si f est une application.
Fait

4) Montrer que f est injective si et seulement si A=E et B=
Fait

C'est à partir des questions suivantes que j'ai besoin de votre aide...

5) Soit Y une partie de E. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
- Y possède un antécédent par f
- BY AB
- f(Y)=Y

Il est évident que f(Y)=Y Y possède un antécédent par F. Mais pour le reste, j'ai l'impression de tourner en rond sans rien démontrer de manière rigoureuse.

6) Déterminer A et B pour que f soit surjective.
Si A=E et B=, on retombe sur l'identité, donc f serait surjective, mais est-ce la seule possibilité ?

7) A et B sont dorénavant quelconques.
       a. Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation f(X)=B d'inconnue XP(E) est {X'X'', X'P(AB)),       X''P(Abarre)}

      b. Résoudre l'équation f(X)=A d'inconnue XP(E) (on pourra distinguer des cas).

Je n'ai pour l'instant aucune idée pour la question 7 (a et b)


Merci d'avance pour vos réponses.