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Application : demande de vérification d'une affirmation

Posté par
Magmaul 08-11-17 à 21:09

Bonsoir,

Je dois montrer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
L'application \begin{array}{ll} f : \mathbb{R}\times ]0;\pi/2[ &\longrightarrow \,\,\, \mathbb{C}^* \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x;y) &\longmapsto e^xe^{iy} \end{array} est bijective.

J'ai donc démontré par l'absurde que l'affirmation est fausse, comme voici :
Supposons que 1 admette au moins un antécédent par f. Donc \exists (x;y) \in \mathbb{R}\times ]0;\pi/2[ tel que
e^xe^{iy} = 1 \Rightarrow e^{x+iy} = 1 \Rightarrow e^{x+iy} = e^0 \Rightarrow x+iy = 0 \Rightarrow x = -iy
Or x \in \mathbb{R}, et -iy \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}, donc il y a absurdité.
Donc f n'est pas bijective.

Pourriez-vous me dire si mon raisonnement est correct s'il vous plait ?
Merci d'avance !

Posté par
Jezebethre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 21:19

Bonsoir,

"Supposons que 1 admette au moins un antécédent par f" ??
Quelle est la négation de la proposition "f bijective" ?

Posté par
verdurinre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 22:00

Bonsoir,
ton raisonnement est assez mal exprimé, à mon avis, mais l'idée de base est bonne.

Posté par
jsvdbre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 22:19

Bonsoir !
@Magmaul : Juste un détail, on a  e^{x+iy} = e^0 \Rightarrow {\red \exists n \in \Z,~x + iy = 2n\pi }\Rightarrow \exists n \in \Z,~(x;y) =(2n\pi,~0)\notin \R \times ]0;\pi/2[

Posté par
Magmaulre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 23:42

Jezebeth @ 08-11-2017 à 21:19

Bonsoir,

"Supposons que 1 admette au moins un antécédent par f" ??
Quelle est la négation de la proposition "f bijective" ?

Oui en effet, j'avais oublié de mettre que f n'est donc pas surjective avant de conclure directement. Merci de me l'avoir montré

verdurin @ 08-11-2017 à 22:00

Bonsoir,
ton raisonnement est assez mal exprimé, à mon avis, mais l'idée de base est bonne.

Oui, j'ai vu ça grâce à la réponse de jsvdb

jsvdb @ 08-11-2017 à 22:19

Bonsoir !
@Magmaul : Juste un détail, on a  e^{x+iy} = e^0 \Rightarrow {\red \exists n \in \Z,~x + iy = 2n\pi }\Rightarrow \exists n \in \Z,~(x;y) =(2n\pi,~0)\notin \R \times ]0;\pi/2[

Oui, en effet c'est mieux comme ça, merci
Par contre, ce n'est pas plutôt i2n\pi au lieu de 2n\pi ?

Posté par
Magmaulre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 23:47

Magmaul @ 08-11-2017 à 23:42

jsvdb @ 08-11-2017 à 22:19

Bonsoir !
@Magmaul : Juste un détail, on a  e^{x+iy} = e^0 \Rightarrow {\red \exists n \in \Z,~x + iy = 2n\pi }\Rightarrow \exists n \in \Z,~(x;y) =(2n\pi,~0)\notin \R \times ]0;\pi/2[

Oui, en effet c'est mieux comme ça, merci
Par contre, ce n'est pas plutôt i2n\pi au lieu de 2n\pi ?


Ah mais du coup, j'aurais dû écrire d'abord que \exists n \in \Z,~e^{x+iy} = e^{i2n\pi} , d'où ma rédaction maladroite
Merci en tout cas

Posté par
jsvdbre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 23:49

Ah bah oui, comme quoi, chacun son bug ... ! J'ai confusionné avec la conclusion :

Du coup (x,y) = (0,2n\pi)\notin \R\times ]0;\pi/2[

Posté par
Magmaulre : Application : demande de vérification d'une affirmation 08-11-17 à 23:54

Ah au fait en relisant ta dernière réponse j'ai remarqué que j'ai fait une faute de frappe sur l'ensemble de départ ! Le véritable ensemble de départ est \mathbb{R}\times ]0;2\pi[ !
Mais bon, ça revient au même au final

Posté par
jsvdbre : Application : demande de vérification d'une affirmation 09-11-17 à 00:10

Ah oui, et en fait tu peux même dire que f( \mathbb{R}\times ]0;2\pi[)=\C-\R_+.
\exp est bijective entre ces deux ensembles (à condition bien sûr de transformer celui de droite en un ouvert de \C) et fournit même une détermination continue du logarithme.

Posté par
carpediemre : Application : demande de vérification d'une affirmation 09-11-17 à 13:02

salut

puisque f arrive dans C* la question est de savoir si f(z) peut-être réel ...

le complexe f(z) = e^z = e^{x + iy} est réel \iff y est un multiple entier de 2\pi ... qui n'appartient pas à l'ensemble de définition de f ...

Posté par
lafol Moderateurre : Application : demande de vérification d'une affirmation 09-11-17 à 19:34

Bonjour

Citation :
x = -iy
Or x \in \mathbb{R}, et -iy \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}, donc il y a absurdité.


ah ? pas avec juste ces arguments là, qui n'empêchent pas d'avoir x = -iy = 0... même sans la rectification proposée par jsvdb, il fallait rappeler ici que y ne peut pas s'annuler

plus exactement -iy \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} n'est pas vrai sans autre précision sur y


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