Bonjour,
c'est un déterminant de Vandermonde pour lequel la dernière colonne est une variable x et qui a été dérivé...

merci pour ta réponse mais je vois pas comment sa va servir ?

Et bien c'est un peu loin pour moi, mais il me semble bien que tu as une formule de dérivation du produit qui est la même que la formule de dérivation d'un produit, si bien que ton déterminant est tout simplement la dérivée du déterminant de Vandermonde



Appelons V(x) cette quantité, d'après ma remarque ci dessus, il me semble bien que ce que tu cherches n'est rien d'autre que V'(a).

Oups formule de dérivation du déterminant qui est la même que pour le produit.

c'est quoi le résultat final pour ce determinant stp

As-tu fais les calculs que je te conseille de faire?



V'(x) = ?

v'(x)=-x^3+(a+b+c)x²-(ab+bc+ca)x+abc

V(x) est de degré 3 (en x) donc sa dérivée est de degré ?

oups désolé j'ai juste fait le calc c'est
v'(x)=-3x^2+2(a+b+c)x-(ab+bc+ca)

Je te conseille de factoriser parce que c'est toujours mieux en forme factorisée.

Ensuite tu poses x=a (ou tu le fais dès le départ mais je ne sais pas si ça va être facile de voir une factorisation ainsi)

Tu n'as pas oublié un facteur? Du genre (a-b)(a-c) ? Ca doit être le coefficient directeur de ton polynôme de degré 3 donc le coefficient directeur de la dérivée doit être -3(a-b)(a-c).

je rectifie
c'est v'(x)=[-3x^2+2(a+b+c)x-(ab+bc+ca)](a-b)(a-c)

mais c'est assez difficile de trouver une expression factoriser comment vs dites

Peut être que de dériver le polynôme sous forme factorisée donnerait une forme plus jolie.
Cela dit, l'objectif premier est rempli

après calcul je trouve (a-b)^2(a-c)^2(c-b) vous confirmez

Note que j'ai oublié un (b-c) aussi dans mon déterminant, non?

Si on récapitule

V(x)=(a-b)(a-c)(a-x)(b-c)(b-x)(c-x) non ?

Ça ne change rien à l'idée et il suffit de multiplier ton dernier résultat par (b-c), ça ne change pas grand chose mais il fallait le signaler

oui mais j'ai fait le calcul avec le terme de moins ds votre expression c'était
le V3(a,b,c)

donc



En posant x=a on voit que deux trucs s'annulent...




Sauf erreur de calcul tout à fait possible...

j'ai abouti au résultat factorisé suivant
(a-b)^2(a-c)^2(c-b)
sauf erreur

merci beaucoup Otto c'était vraiment sympa de te part j'ai enfin compris la méthode et c'est grâce à toi
merc encore

C'est également ce que je trouve juste au dessus

De rien, ça me fait plaisir, on est là pour ça.
Renseigne toi pour la dérivation des déterminants, mais tu as une règle du même genre que pour les produits.

Si tu as des colonnes C1,C2,...,Cn alors la dérivée du déterminant de [C1,...,Cn] est

[C1',....,Cn] + [C1,C2',...,Cn] + [C1,C2,C3',....,Cn] + ... +[C1,...,Cn']

Ça ne doit pas être difficile à montrer.