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Si f est la fonction nulle....

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Pour M quelconque, on peut construire autour du point M un carré ABCD de centre M.
En utilisant les milieux I, J, K, L des côtés du carré ABCD, on fait apparaître quatre autres carrés. Et le carré IJKL.
En combinant tous ces carrés avec la propriété, on trouve f(M) = 0.

Il y a peut-être plus simple.

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Intuitivement , par continuité en M, je dirais que f est la fonction nulle

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On prend M d'affixe z, et on note A(z-1-i), B(z+1-i), C(z+1+i) et D(z-1+i) les quatre points tels que ABCD soit un carré de côté 2 de centre M.

On note ensuite
I(z-i) le centre de [AB]
J(z+1) le centre de [BC]
K(z+i) le centre de [CD]
L(z-1) le centre de [DA].

On a alors quatre nouveaux carrés en traçant les segments [LJ] et [IK] qur lesquels ont peut appliquer la propriété

f(A)  +    f(I)  + f(M) +   f(L)   = 0
  f(I)  +  f(B)  +   f(J)  + f(M)  = 0
f(M) +   f(J)  +  f(C)  +  f(K)  = 0
  f(L) + f(M)  + f(K)  +  f(D)  = 0

On somme les quatre égalités pour trouver
0 = f(A)+f(B)+f(C)+f(D) + 2(f(I)+f(J)+f(K)+f(L)) + 4f(M) = 4f(M)
parce que ABCD et IJKL sont des carrés.

Pour peu que f soit à valeurs dans un anneau où 4 est inversible (ce qui est le cas de R), on en déduit f(M) = 0.