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application du produit scalaire

Posté par vodes (invité) 14-02-05 à 12:01

Bonjour a tous ! voila j'ai un probléme avec un exercice je n'y arive pas du tout est ce quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? merci beaucoup

Soit ABC un triangle rectangle en A, de centre de gravité G, et A' le milieu du segment [BC]. On pose BC = a.

1° Exprimer 4\vec{GA}.\vec{AA'} en fonction de a.

2° Exprimer GB² + GC² en fonction de a.
En déduire GA² + GB² + GC² = \frac{2}{3}a².

3° Prouver que, pour tout point M du plan, on a :
MA² + MB ² + MC² = GA² + GB² +GC² + 3MG².

4° Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan tels que :
MA² + MB² + MC² =\frac{3}{4}a²

Posté par vodes (invité)re : application du produit scalaire 14-02-05 à 13:23

personne ne comprend ?

Posté par vodes (invité)re : application du produit scalaire 14-02-05 à 18:44

svp aidez moi je ne comprend rien du tout !

Posté par bozz (invité)je vais essayer de t aider 14-02-05 à 19:04

bonjour a toi!je suis pa sur de pouvoir t etre d une grande utilité mais je vais tenter de t aider tout de meme.
Tout d'abord puisque G centre de gravité on a:
GA+GB+GC=0 (attention je parle en vecteur)
De plus puisque A'm[BC] ,on a:
A'B+A'C=0 (toujours en vecteur)

désolé de pouvoir t'en dire plus je cherche...
et je te di si je trouve
bye

Posté par vodes (invité)re : application du produit scalaire 14-02-05 à 19:08

merci quand méme

Posté par
ma_corre application du produit scalaire 14-02-05 à 22:22

Bonsoir.
Pour la première question, G étant le centre de gravité du triangle, il se trouve aux \frac{2}{3} de la médiane [AA'] à partir du sommet A :
\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA'}.  Ainsi,
4.\vec{GA}.\vec{AA'}=-4.\vec{AG}\vec{AA'}=-\frac{8}{3}\vec{AA'}^2. Or, \vec{AA'}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}) et donc \vec{AA'}^2=\frac{1}{4}(\vec{AB}+\vec{AC})^2=\frac{1}{4}(\vec{AB}^2+\vec{AC}^2+2\vec{AB}.\vec{AC})=\frac{1}{4}(\vec{AB}^2+\vec{AC}^2) (car \vec{AB}\perp\vec{AC}) =\frac{1}{4}\vec{BC}^2 (car hypoténuse).  En remplaçant, il vient :
4.\vec{GA}.\vec{AA'}=-\frac{2}{3}a^2

Posté par
ma_corre application du produit scalaire 14-02-05 à 22:48

Pour la question 2, tu peux utiliser un des théorèmes de la médiane, si tu les as vus.  Pour rappel (ou si tu ne les connais pas), si M est le milieu de [A B], alors pour tout point P du plan, on a :
1°) \vec{PA}^2+\vec{PB}^2=2\vec{PM}^2+\frac{1}{2}\vec{AB}^2
2°) \vec{PA}^2-\vec{PB}^2=2\vec{AB}.\vec{MP}
3°) \vec{PA}.\vec{PB}=\vec{PM}^2-\frac{1}{4}\vec{AB}^2
Ici, c'est le 1°) que l'on peut utiliser où P est le point G, A est B et B est C, M est A' :
\vec{GB}^2+\vec{GC}^2=2\vec{GA'}^2+\frac{1}{2}\vec{BC}^2.  Mais \vec{GA'}=\frac{1}{3}\vec{AA'} et donc \vec{GA'}^2=\frac{1}{9}\vec{AA'}^2=\frac{1}{36}\vec{BC}^2=\frac{1}{36}a^2.
En remplaçant, il vient :
\vec{GB}^2+\vec{GC}^2=\frac{1}{18}a^2+\frac{1}{2}a^2=\frac{5}{9}a^2.
De plus, \vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2=\frac{4}{9}\vec{AA'}^2+\frac{5}{9}a^2=\frac{1}{9}a^2+\frac{5}{9}a^2=\frac{6}{9}a^2=\frac{2}{3}a^2.
La suite, essaie de la trouver, tu as maintenant toutes les indications  possibles.
Bon travail.

Posté par vodes (invité)re : application du produit scalaire 15-02-05 à 12:44

merci beaucoup je vais essayer

Posté par
ma_corre application du produit scalaire 15-02-05 à 16:00

Rebonjour.
Pour ton information, puisque tu as vu mes messages, je te donne la suite.  A toi de voir si cela correspond avec tes calculs.
MA^2+MB^2+MC^2=\vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2=(\vec{MG}+\vec{GA})^2+(\vec{MG}+\vec{GB})^2+(\vec{MG}+\vec{GC})^2=\vec{MG}^2+2\vec{MG}.\vec{GA}+\vec{GA}^2+\vec{MG}^2+2\vec{MG}.\vec{GB}+\vec{GB}^2+\vec{MG}^2+2\vec{MG}.\vec{GC}+\vec{GC}^2=3\vec{MG}^2+2\vec{MG}.(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})+\vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2.
Or, puisque G est le centre de gravité, alors \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{o} et \vec{MG}.\vec{o}=0.
Il reste bien : \vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2=3\vec{MG}^2+\vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2.
On peut aussi ajouter : \vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2=3\vec{MG}^2+\frac{2}{3}a^2.
Pour la dernière question, tu dois trouver les points M tels que \vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2=\frac{3}{4}a^23\vec{MG}^2+\frac{2}{3}a^2=\frac{3}{4}a^2\vec{MG}^2=\frac{1}{36}a^2|MG|=\frac{a}{6} : c'est le cercle de centre G et de rayon égal au sixième de la longueur de l'hypoténuse!
J'espère que tu y étais arrivé.

Posté par vodes (invité)re : application du produit scalaire 16-02-05 à 13:46

on a le droit d'élever un vecteur au carré ? je croyai qu'on pouvai seuleument le faire avec des longueur ?

Posté par vodes (invité)re : application du produit scalaire 17-02-05 à 17:20

svp repondez moi

Posté par
Papy Berniere : application du produit scalaire 17-02-05 à 17:34

Bonsoir,

Oui : vect AB.vect AB=||vect (AB)²||=AB²

Et tu peux faire l'inverse si ça t'arrange pour la suite des calculs :

AB²=vect AB. vect AB

Salut.


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