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Application et bijectivité
Bonjour à tous,
je vous poste ici mes 2 dernières questions de DM sur lesquelles je bloque :
on définit l'application f de R^2 dans R^2 par :
pour tout (x,y) appartenant a R^2, f(x,y) = (x+y,xy)
1. Donner une condition necessaire et suffisante sur le couple (s,p) de R^2 pour qu'il admette un antécédent par f.
2.On considère D= {(x,y) appartient a R^2 ; x
y } et
g : D associe f(D) la restriction de f à D : pour tout (x,y) appartenant à D^2 , g(x,y) = f(x,y) = (x+y,xy)
Montrer que g est bijective et donner l'expression de sa réciproque
Si vous pouviez m'aider , je vous en serai très reconnaissant.
Merci d'avance
es tu sur que cette condition suffise, car j'ai trouvé que la cns pour que
(s,p) admette un antécédent est : s= 2racine de p?
Bonjour,
Pour que ta fonction soit bijective, il faut qu'elle soit surjective:
pour tout (s,p) dans R^2, il existe x et y tels que f(x,y)=(x+y,xy)=(s,p)
Il faut aussi qu'elle soit injective...
Comment est-ce que tu as trouvé ça ?
Par exemple prends le couple (1;3). Il a pour image (4;3) par f et pourtant .
Evidemment on voit que ce n'est probablement pas le cas puisque f(x,y)=f(y,x) pour tout x,y, d'où la question 2...
Reponse à cinnamon :
pour trouver ca, j ai resolu le systeme :
s = a+b
p = a * b
j'arrive a un polynome du 2nd degré, j ai delta = s^2-4p
et je cherche tel que delta >0
voila, je sais pas si c'est juste, mais vu le contre exemple donné...
Sinon, Je vois une autre possibilité de CNS : s différent de 0 si p différent de 0 (car en effet (0,1) ou (0,2) n'admet pas d antécédent...
Qu'en pensez vous ?
"j'arrive a un polynome du 2nd degré, j ai delta = s^2-4p"
Comment arrives-tu à ce polynôme ?
A part ça, qu'est ce qui te pose problème dans mon post de 19h09 ?
Je ne pense pas qu'on te demande plus que ça pour cette question (mais je peux me tromper)...
a= s - b ; a = s-b
p= (s-b)b ; p = sb - b^2
sb - b^2 - p = 0 donc -b^2 + sb - p >ou ègal 0
discriminant = s^2 - 4(-1)(-p) = s^2 - 4p
m
mais j'avais "zappé" ton post de 19h09, je pense que ca suffit comme reponse, mais dois-je demontrer la suffisance et la necessite ?
"mais dois-je demontrer la suffisance et la necessite ?"
Bah en fait, je pense que c'est évident...donc je ne sais pas s'il faut le démontrer...
Par contre, pour qu'un couple antécédent existe, je suis d'accord sur le fait qu'il faut que .
Reste à montrer que ça suffit.
Donc peut-être que c'est ce qu'on te demande...
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