salut

quel est l'intérêt (autre que logique) de prendre une application

cette application vérifie tout et son contraire ... ou presque ...

Puis j'ai un souci dans la démonstration de mon livre, je ne comprends pas certains passages.
Puis je ne comprends pas dans l'hérédité, c'est où qu'on montre que :
Si   alors est injective.
Je mets les grandes lignes de la démonstration.

Supposons injective. Alors l'application est bijective.

Montrons par récurrence sur la propriété
" Si est un ensemble de cardinal et une application définie sur , alors est fini et et s'il y a égalité alors est injective."

Si alors il existe un tel que . On a alors donc et est injective, ce qui prouve que est vraie.
Comment sait-on que est injective ici ?

Soit tel que soit vraie. Considérons un ensemble de cardinal .

La suite je ne comprends pas le principe. Je ne vois pas où on traite la cas Si   alors est injective.
Si est injective alors d'après le premier point on a  .
Si n'est pas injective, alors il existe 2 éléments tel que .
On a donc : avec
D'après l'hypothèse de récurrence est fini et .
Ainsi, est fini et .

On a donc avec égalité si et seulement si est injective.

Bonjour
Prends des vacances ! Ce n'est pas normal d'être ainsi bloqué sur des trucs aussi élémentaires à chaque phrase que tu lis ! Tu as besoin de repos,
Tu n'es pas fichu capable de voir tout seul qu'on vient de montrer une inégalité STRICTE lorsqu'il n'y a pas injectivité ?

La contraposee ne donne pas l'égalité des cardinaux. Bref je ne comprends pas vos explications.

Je pars en vacances mercredi en attendant je peux encore bosser un peu.

u(E) a-t-il l'ombre d'une chance d'avoir strictement plus d'éléments que E ? et donc le contraire de < devient quoi, sachant que > est impossible ?

Merci pour votre réponse.

La contraposée donne :

Si alors est injective.

Pour une application chaque élément de l'ensemble de départ il existe un unique élément de l'ensemble d'arrivée.
Donc est exclu.

Tu supposes vraie et tu considères de cardinal avec et définie sur .
Alors .
1. Par hypothèse de récurrence, donc  .

2. Si on suppose l'égalité on a nécessairement et .
Par hypothèse de récurrence la restriction de à est injective et je te laisse terminer.

Votre méthode me donne plus de fil à retordre que celle du livre.
Je tente de redémontrer le résultat.

On a :

Donc

Comme on a bien :

Comme :   et que alors  

D'après l'hypothèse de récurrence, est injective. Alors l'application est injective.

Il faut montrer que est injective sur .

Pour le résultat est vrai.

Soit et tel que : . On a donc : Mais donc

Soit

Il faut montrer que :   et   sont disjoints ?
Comme ça on peut utiliser la formule :

Soit . Alors et .
Ainsi : et
Je ne vois pas comment finir

Puis je ne vois pas comment montrer que

Je ne comprends rien

u(a) est dans F alors que A est une partie de E : sauf si F et E "vivent" dans le même grand ensemble, il n'y a aucune chance que u(a) soit élément de A !

prends des vacances ! tu frises le burn-out, là, c'est contre productif, on le voit bien aussi que tu ne comprends rien à rien à des notions qui étaient il n'y a pas si longtemps enseignées à des gosses de 11-15 ans !
(prendre des vacances, ce n'est pas forcément partir, tu peux parfaitement prendre des vacances en restant chez toi, juste faire autre chose de tes journées, aller au parc, au ciné, à la piscine, te promener sur les grands boulevards, que sais-je...)

Oui c'est cela, je ne vois pas un gosse de 15 ans assimiler de telles notions, faut pas pousser, ils ont déjà du mal à factoriser développer.

J'ai très bien compris la démonstration de mon livre. qui est accessible et simple à comprendre.

Celle de Luzak m'embrouille, d'ailleurs je n'ai pas compris ses indications pour démontrer que le cardinal de la réunion ne pourrait être que   et que .

Curieux ta façon de lire !
Où ai-je écrit que je cherche à démontrer ?


Tu prétends avoir compris la démonstration de ton livre mais dans ton message du 15/07/2019,15:21 il y a une pléthore d'appels au secours pour des choses évidentes.
Ma méthode n'est rien d'autre que celle de ton livre : récurrence.
Oh! pardon, j'ai osé démontrer l'hérédité au lieu de celle de ton livre qui utilise : faut vraiment être fatigué pour oser dire que l'une des démarches est compréhensible mais pas l'autre !

Votre démonstration est différente. Déjà vous ne faites pas 2 cas : u injectif et u non injectif

Puis je n'ai pas compris votre méthode avec le cardinal alors que la demo du livre j'ai compris.

alors donne nous très proprement et exactement la démo du livre ...

@Carpediem

Supposons injective. Alors l'application est bijective car injective comme restriction d'une injection et surjective puisqu'on a restreint l'ensemble d'arrivée à l'image.
Par suite, si est injective alors l'ensemble est fini et

Montrons par récurrence sur la propriété
" Si est un ensemble de cardinal et une application définie sur , alors est fini et et s'il y a égalité alors est injective."

Si alors il existe un tel que . On a alors donc et est injective, ce qui prouve que est vraie.

Soit tel que soit vraie. Considérons un ensemble de cardinal .

Si est injective alors d'après le premier point on a  .
Si n'est pas injective, alors il existe 2 éléments tel que .
On a donc : avec
D'après l'hypothèse de récurrence est fini et .
Ainsi, est fini et .

On a donc avec égalité si et seulement si est injective.
La propriété est vraie au rang , ce qui termine la démonstration par récurrence.