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application formule de Leibniz

Posté par
robby3 26-10-08 à 17:58

Bonsoir tout le monde, j'ai du mal à terminer mon calcul...
je dois calculer f^{(n)} ou f(x)=(x-a)^n(x-b)^n \\
j'ai donc:

\rm \large \\ f^{(n)}(x)=\Bigsum_{k=0}^n C_n^k \((x-a)^n\)^{(k)}.\((x-b)^n\)^{(n-k)} \\ \\ =\Bigsum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} n!(x-a)^n \((x-b)^n\)^{(n-k)} \\ \\ =(x-a)^n \Bigsum_{k=0}^n \frac{n!^2}{k!(n-k)!} (x-b)^n .(n-k)!

je ne suis pas certain de ma derniere égalité...
à vrai dire,à la suite de ce calcul je devrais en déduire la valeur de

\large \Bigsum_{k=0}^n \(C_n^k\)^2

un petit coup de main s'il vous plait?

Posté par
Nightmarere : application formule de Leibniz 26-10-08 à 18:08

Bonsoir,

oula, des erreurs de calculs...

Que vaut la dérivée k-eme de (x-a)n ? Ce n'est pas ce que tu as écrit!

Posté par
slorevivre : application formule de Leibniz 26-10-08 à 18:15

ta 2eme ligne est fausse c'est
\Sigma_{k=0}^{k=n} C_n^k{n!\over (n-k)!}{n!\over (k)!}(x-a)^{n-k}(x-b)^k=\Sigma_{k=0}^{k=n}( C_n^k)^2 \times n!(x-a)^{n-k}(x-b)^k \\

maintenant si a=b on sait deriver n fois (x-a)^{2n} c'est  C_{2n}^n(x-a)^n et le Sigma precedent donne:

\Sigma_{k=0}^{k=n}( C_n^k)^2 \times n!(x-a)^{n}


donc ce qu tu cherches vaut {C_{2n}^n\over n!}sauf erreur

Posté par
robby3re : application formule de Leibniz 26-10-08 à 18:27

la dérivé o-ieme,c'est (x-a)^n
la dérivée 1er,c'est n(x-a)^{n-1}
la dérivée 2eme,c'est n(n-1)(x-a)^{n-2} \\
la dérivé k-ieme ça va etre \frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}

Posté par
slorevivre : application formule de Leibniz 26-10-08 à 19:38

oui!

Posté par
hanyneere : application formule de Leibniz 22-12-10 à 10:32

bonjour j ai du mal à utiliser la formule est ce que vous pouvez m éclaircir la solution svp
on a h(x)=x²* ex
la dérivée n ième de h est =x²+2n x +n(n-1) ex


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