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application linéaire
Bonjour tout le monde,
J'ai du mal à traiter un exercice...
a) Soit f l'appliccation de IR3[X] dans IR définie par pour tout P appartient à IR3[X], f(P)= P(2). Montrer que f est linéaire; déterminer son image et son noyau.
f: IR3[X]--> IR tel qu'il existe (a,b,c,d) de IR^4
aX^3+ bX^2 + cX + d --> 8a+ 4b +2c +d
Soient (a,b,c,d,A,B,C,D) de IR^8,
Soient (P,Q) dans (IR3[X])^2
Soit 
de IR
f( P)= f( aX^3 + bX^2 + cX + d )= (8a +4b + 2c + d) = f(P)
f(P+Q)= f((a+A) X^3 + (b+B)X^2 + (c+C)X +(d+D) ) = 8(a+A) + 4(b+B) + 2(c+C) +(d+D) = f(P) + f(Q)
Je poste la suite...
Donc f est linéaire.
Déterminer son image et son noyau
Ker f= {P de IR^3[X] | f(P)= 0}
donc Ker f = {(0)} (car P(2)=0 équivaut à P= 0 )
donc f est injective
J'ai du mal avec l'image. Je trouve des choses bizarres sans comprendre mon erreur.
En utilisant le th du rang,
dim IR3[X] = dim (rg f) + dim kerf
d'où 4 = dim imf +0 ????
Or imf appartient à IR donc devrait être de dim 1.
et im f= { P(2)= 8a +4b +2c +d | il existe P de IR3[X] , f(P)= P(2) }
d'où im f= vect (8,4,2,1)= Vect(1)
et dim f= 1
Qu'est ce que j'ai fabriqué???
Du coup j'obtiens bien par le th du rang que dim imf= 1
Est-ce que le raisonnement que j'ai tenu après, et l'image que j'ai donnée sont bons?
im f= { P(2)= 8a +4b +2c +d | il existe P de IR3[X] , f(P)= P(2) }
im f= vect (8,4,2,1)= Vect(1)
Le raisonnement est correct mais im f= { P(2) | P dans IR3[X] }= vect (8,4,2,1 (car X^3,X^2,X,1 base de IR3[X] ))= Vect(1)
en fait je réalise que je n'ai pas véritablement compris pourquoi dim kerf= 3
vu que les P sont des polynômes de degré 3. Pourrais-tu m'indiquer une base?
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