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application linéaire

Posté par
issanui
18-08-17 à 12:48

Bonjour,
J'ai corrigé cet exercice, mais j'ai des doutes puisque je viens de commencer à faire des exercice sur ce chapitre et j'aimerais avoir un approfondissement .

Soit l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A=\begin{pmatrix} 1 &\frac{1}{a} & \frac{1}{ab}\\ a &1 &\frac{1}{b} \\ ab & b& 1 \end{pmatrix}
Déterminer le noyau et la image de f.

En résolvant ce système :

\begin{cases} & \text{ } x+\frac{1}{a} y+ \frac{1}{ab}z=0\\ & \text{ } ax+y+\frac{1}{b}z =0 \\ & \text{ } abx+by+z=0 \end{cases}

x=-\frac{1}{a}y-\frac{1}{ab}z

Kerf=vect\left\{ (-\frac{1}{a}, 1, 0);(-\frac{1}{ab}, 0 , 1)\right\}

Im_f=vect\left\{ (1, a,ab);(\frac{1}{a}, 1 , b);(\frac{1}{ab},\frac{1}{b}, 1)\right\}

Est-ce que c'est bon ?

Posté par
scoatarin
re : application linéaire 18-08-17 à 13:26

Bonjour,

Il me semble que c'est faux, car, d'après le théorème du rang, la somme des dimensions de l'image et du noyau doit être égale  à la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les 3 vecteurs colonnes de la matrice associée à l'endomorphisme de 3.    

Posté par
issanui
re : application linéaire 18-08-17 à 13:32

Ah oui.
Puisque les trois vecteur de l'image sont liés, puis-je dire que :

I_mf=vect\left\{(1,a,ab) \right\}

Posté par
scoatarin
re : application linéaire 18-08-17 à 13:47

Quelle justification permets d'affirmer que les trois vecteurs de l'image sont liés ?

Posté par
issanui
re : application linéaire 18-08-17 à 13:57

a(\frac{1}{a},1,b)=(1,a,ab)
ab(\frac{1}{ab},b,1)=(1,a,ab)
Donc a(\frac{1}{a},1,b)+ab(\frac{1}{ab},\frac{1}{b},1)=2(1,a,ab)
Ils sont donc liés.

Posté par
scoatarin
re : application linéaire 18-08-17 à 14:08

Bon, d'accord.

Posté par
issanui
re : application linéaire 18-08-17 à 17:34

Merci beaucoup !
Bonne journée !

Posté par
scoatarin
re : application linéaire 18-08-17 à 18:43

Et le noyau Ker(f) alors  ?

Posté par
veleda
re : application linéaire 18-08-17 à 23:18

bonsoir,
il l'a donné le noyau

Posté par
scoatarin
re : application linéaire 19-08-17 à 09:52

veleda @ 18-08-2017 à 23:18

bonsoir,
il l'a donné le noyau


Bonjour veleda, je voulais vérifier si tout était clair pour lui.

Merci d'avoir valider sa conclusion.

Posté par
issanui
re : application linéaire 19-08-17 à 14:26

Bonjour,

Le système donne x=-\frac{1}{a}y-\frac{1}{ab}z

(x,y,z)=(-\frac{1}{a}y-\frac{1}{ab}z,y,z)=y(-\frac{1}{a},1,0)+z(-\frac{1}{ab},0,1)

D'où le noyau.

Posté par
issanui
re : application linéaire 19-08-17 à 14:30

Merci encore  scoatarin et merci veleda.

Posté par
scoatarin
re : application linéaire 19-08-17 à 14:45

De rien.  



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