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Application Linéaire
Soit f l'application linéaire de 
3 dans 3 définie par : f(x,y,z) = (2x+z, z-y, 2x+y)
1)Donner la matrice de f dans la base canonique 3 , j'ai répondu :
2 0 2
0 -1 1
1 1 0
2) Déterminer une base de Kerf :
((2;0;1)(0;-1;1))
3) L'application f est elle bijective :
Kerf={03 }
4) Appliquer le théorème du rang pour trouver dim (imf)
J'ai trouvé dim (imf) = 2
5)Trouver une base de Imf :
((0;1;-1)(0;0;1/2)
J'aimerais voir si ce que j'ai répondu est bon.
Bonjour
C'est un peu erratique!
Comment tes réponses à 1 et à 3 peuvent-elles être vraies toutes les deux?
Bonsoir,
pas mal d'erreurs : matrice, et problèmes de cohérence entre tes réponses.
Si une application n'est pas bijective, alors la dimension du noyau est supérieure ou égale à 1.
D'accord, donc j'ai repris tout mon exercice depuis le début.
Pour la 1 je n'ai pas compris pour la matrice que j'ai donné est fausse.
bonsoir,
pour la matrice
les images des vecteurs de base sont en colonne , pas en ligne
la première colonne c'est
2
0
2
Bon pour la matrice faut prendre dans l'autre sens :
2 0 1
0 -1 1
2 1 0
On trouve Ker f = Vect((-1,2,2)) en résolvant le système homogène f(x,y,z)=(0,0,0).
Dim Ker f = 1 , car formé par deux vecteurs libres. Donc f n'est pas injective, donc non bijective.
Par le théorème du rang, dim Im f = 3-1 = 2.
f(x,y,z)=x * (2,0,2) + y * (0,-1,1) + z * (1,1,0)
Donc Im f = Vect("les 3 vecteurs ci dessus") = Vect((1,0,1) , (1,1,0))
"Dans" le Vect on peut multiplier un vecteur par un scalaire, ajouter à un vecteur une combinaison des autres vecteurs, et aussi enlever un vecteur du Vect s'il est présent plus d'une fois. Cela permet de trouver le dernier résultat.
Bonsoir
mandieu !
comment trouves-tu deux vecteurs libres dans Vect(un seul vecteur) 
et comment avec deux vecteurs libres peux-tu annoncer une dimension 1 ?
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